Cómo encontrar la fórmula de suma parcial para [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (2 n + 1) / (2 ^ n)

Answer 1

Hay dos formas de resolver este problema. Uno es elemental.

I. Primero que nada, trataremos de encontrar la fórmula de suma parcial para

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ frac {k} {2 ^ k} [/ matemáticas]

Considere una tabla:

[matemáticas] \ begin {array} {ccccccc} \ frac {1} {2} \\ \ frac {1} {4} & \ frac {1} {4} \\\ frac {1} {8} & \ frac {1} {8} & \ frac {1} {8} \\ \ frac {1} {16} y \ frac {1} {16} & \ frac {1} {16} & \ frac {1} {16} \\\ frac {1} {32} & \ frac {1} {32} & \ frac {1} {32} & \ frac {1} {32} & \ frac {1} {32} \ \ \ vdots \\ \ frac {1} {2 ^ n} & \ frac {1} {2 ^ n} & \ frac {1} {2 ^ n} & \ frac {1} {2 ^ n} & \ frac {1} {2 ^ n} & \ ldots \ frac {1} {2 ^ n} \ end {array} [/ math]

La suma de cada fila es exactamente [matemática] \ frac {k} {2 ^ k} [/ matemática]. Entonces la suma de todas las entradas será deseada suma parcial. Pero, en lugar de sumar filas, ¡sumemos columnas! Sea [math] j [/ math] el número de la columna [math] j [/ math]. Usando la fórmula para la suma de una secuencia geométrica obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2 ^ j} + \ frac {1} {2 ^ {j + 1}} + \ ldots + \ frac {1} {2 ^ n} = \ frac {1} {2 ^ {j-1}} – \ frac {1} {2 ^ n} [/ math]

Añadiendo columna por columna obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ frac {k} {2 ^ k} = \ sum_ {j = 1} ^ n \ left (\ frac {1} {2 ^ {j- 1}} – \ frac {1} {2 ^ n} \ right) = – \ frac {n} {2 ^ n} + \ sum_ {j = 1} ^ n \ frac {1} {2 ^ {j- 1}} [/ matemáticas]

Y de nuevo a partir de la suma de la progresión geométrica:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {j = 1} ^ n \ frac {1} {2 ^ {j-1}} = 2– \ frac {1} {2 ^ {n-1}} [/ matemáticas]

Finalmente:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ frac {k} {2 ^ k} = 2– \ frac {1} {2 ^ {n-1}} – \ frac {n} { 2 ^ n} [/ matemáticas]

Todo el proceso se puede expresar en breve como una suma doble:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {k} {2 ^ k} = \ sum_ {k = 1} ^ n \ sum_ {j = k} ^ n \ frac {1} {2 ^ k} = \ sum_ {k = 1} ^ n \ left (\ frac {1} {2 ^ {k-1}} – \ frac {1} {2 ^ n} \ right) = 2- \ frac { 1} {2 ^ {n-1}} – \ frac {n} {2 ^ n} [/ math]

Ahora es fácil concluir que:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ frac {2k + 1} {2 ^ k} = 2 \ left (2– \ frac {1} {2 ^ {n-1}} – \ frac {n} {2 ^ n} \ right) + \ left (1- \ frac {1} {2 ^ n} \ right) = 5- \ frac {5} {2 ^ n} – \ frac {n } {2 ^ {n-1}} [/ matemáticas]

II El segundo método implica un poco de cálculo. Considerar

[matemáticas] f (x) = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {1} {2 ^ k} x ^ k = \ frac {\ frac {1} {2} x – (\ frac { 1} {2} x) ^ {n + 1}} {1– \ frac {1} {2} x} [/ matemáticas]

Ahora, tome la derivada:

[matemáticas] f ‘(x) = \ displaystyle \ left (\ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {1} {2 ^ k} x ^ k \ right)’ = \ sum_ {k = 1} ^ n \ left (\ frac {1} {2 ^ k} x ^ k \ right) ‘= \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {k} {2 ^ k} x ^ {k-1} [/ math ]

Pero en la otra mano:

[matemáticas] f ‘(x) = \ displaystyle \ frac {2 ^ {- n} \ left (nx ^ {n + 1} -2 (n + 1) x ^ n + 2 ^ {n + 1} \ right )} {(x-2) ^ 2} [/ matemáticas]

Poner [matemáticas] f ‘(x) = 1 [/ matemáticas] da el resultado

[matemáticas] \ displaystyle 2- \ frac {1} {2 ^ {n-1}} – \ frac {1} {2 ^ n} = f ‘(1) = \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {k} {2 ^ k} [/ matemáticas]

El resto es igual. Voila!

Answer 2

TLDR: la enésima suma parcial es 5- (2n + 5) / 2 ^ n

Considere que la función F (x) = “la suma parcial x de esta serie” satisface la siguiente ecuación:

F (x + 1) -F (x) = g (x): = (2 (x + 1) +1) / 2 ^ (x + 1)

Puede que esto no parezca mucho, pero existe una técnica general para resolver tales ecuaciones. Si D es el operador d / dx, donde DD … D = D ^ n es d ^ n / dx ^ n, entonces, para cualquier función diferenciable f y escalares u y v, tenemos lo siguiente:

D (u + v) f = Duf + Dvf = uDf + vDf = (uD + vD) f = (u + v) Df,

Entonces D conmuta y distribuye con escalares, y viceversa, esto se debe a que D es un operador lineal.

Además, cada D ^ n tiene un inverso, D ^ -n, que es una iteración de integrales. El problema aquí, por supuesto, es que no existe un inverso ÚNICO, porque la integración es única solo hasta una constante arbitraria de integración. Aparte de esto, actuará como un escalar entre escalares, siempre que todas las manipulaciones se realicen a la izquierda de cualquier función dependiente de variables.

Al notar esto, podemos unir D a un campo escalar F, al igual que podemos unir i al campo de números reales para obtener los números complejos. Solo aquí, en lugar de definir i ^ 2 = -1, definimos todos los poderes integrales de D como símbolos puramente indeterminados que obedecen las reglas de la aritmética ordinaria descrita anteriormente, donde D * D ^ n = D ^ n * D = D ^ (n + 1) para todos los n, hasta que se usen para operar en una función.

Esto puede permitirnos reorganizar las operaciones de la izquierda en funciones familiares: usando la fórmula de la serie Taylor para f (x + 1), podemos descubrir que

f (x + 1) = Suma (1 / n! * (D ^ n) f (x) ((x + 1) -x)) ^ n desde n = 0 → infinito

= [Suma (D ^ n / n!)] F (x)

Y (ESTE ES EL PASO CLAVE) reconociendo la serie para exp, podemos sustituir la suma en potencias de D con una función simple tal como podríamos hacer si D fuera un escalar: ya que Sum (x ^ n / n!) = Exp (x), para x indeterminado formal, también podemos decir que Sum (D ^ n / n!) = exp (D):

f (x + 1) = exp (D) * f (x)

Así que volvamos a la ecuación original!

F (x + 1) -F (x) = (2 (x + 1) +1) / 2 ^ (x + 1) = g (x)

exp (D) * F (x) -1 * F (x) = g (x)

(exp (D) -1) F = g

Vemos este operador (exp (D) -1), que envía funciones a funciones tomando combinaciones lineales de derivadas formales con respecto a la x indeterminada. Si consideramos el núcleo de este operador, es decir, el conjunto de todas las funciones que asigna a la función 0, es el conjunto de todas las funciones periódicas con período 1, es decir (exp (D) -1) F (x) = F (x + 1) -F (x) = 0 si y solo si F (x + 1) = F (x). CUALQUIER función unitaria periódica ARBITRARIA se asigna a cero por este operador, pero dado que solo nos interesan los valores enteros de F, y dado que los valores para estas funciones arbitrarias se fijan en 0 y, por lo tanto, en todos los valores enteros por su periodicidad, podemos trátelos como una constante simple cuando aplique el análisis, restringiendo nuestras soluciones solo a funciones suaves.

Ahora, multiplicando a la izquierda por 1 / (exp (D) -1), también debemos agregar un término para el núcleo, que como se discutió anteriormente se puede reducir a un término constante simple c:

F = c + 1 / (exp (D) -1) * g

Intentando convertir la expresión 1 / (exp (D) -1) en una serie de Taylor centrada alrededor de 0 en D, el resultado diverge, pero hay un buen truco: simplemente multiplique y divida por D, para encontrar

F = c + D / (exp (D) -1) * (D ^ -1 * g)

Ahora D ^ -1 es solo una integral, y D / (exp (D) -1) * (D ^ -1 * g) nos dará información útil.

Es posible que reconozca z / (exp (z) -1) como la función generadora de los números de Bernoulli Bk, y al final, la serie de la derecha proporciona una versión en serie infinita de la fórmula de Euler-Maclaurin cuando se expande como una serie de Maclaurin . Hay más en esto, y a veces hay problemas con la convergencia debido a la naturaleza de los números de Bernoulli, pero si eres inteligente, puedes encontrar una solución a estos problemas.

¡Usando esta técnica, es muy fácil resolver el problema en cuestión! Si expande D / (exp (D) -1) en su Serie Maclaurin en D, encontramos

F (x) = Suma (Bk / k! * D ^ k) D ^ -1 (x * 2 ^ (- x) + 3 * 2 ^ (- x)) + c

donde Bk es la derivada k de z / (e ^ z-1) en 0, que son los números de Bernoulli.

¡Pero no importa lo que sean! La forma de esta ecuación es suficiente para dar una ruta directa a la solución usando álgebra lineal simple:

Después de la integración, queda claro de inmediato que la solución tendrá la forma

F (x) = c + (mx + b) 2 ^ (- x)

Y podemos encontrar m, byc simplemente identificando 3 puntos en el gráfico F, dado por (1,3 / 2), (2,3 / 2 + 5/4), (3, 11/4 + 7 / 8), y resolviendo el sistema lineal para estos coeficientes dada la forma de la solución:

3/2 = m / 2 + b / 2 + c

11/4 = m / 2 + b / 4 + c

29/8 = 3m / 8 + b / 8 + c

Por lo tanto ya

b = 4 (3 / 2–11 / 4) = – 5

Y ahora

2c + m = 8

4c + 2m = 16

Estas dos son la misma ecuación, por lo que necesitamos usar la tercera

8c + 3b = 34

Resolviendo este sistema, encontramos

m = -2, b = -5, c = 5, de modo que la fórmula es

F (x) = 5- (2x + 5) / 2 ^ x

Muy bien también vemos que la suma total es 5 🙂