¿Cuál es el valor de [matemáticas] \ frac {a ^ {2}} {2a ^ {2} + bc} + \ frac {b ^ {2}} {2b ^ {2} + ca} + \ frac {c ^ {2}} {2c ^ {2} + ab} [/ math] si a, b, c son tales que [math] a + b + c = 0 [/ math]?

Answer 1

Empecemos con la identidad.

[matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 – 3abc = (a + b + c) (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 -ab -bc -ca) [/ matemáticas]

Enchufar

[matemáticas] a + b + c = 0 [/ matemáticas] (i)

[matemáticas] \ implica a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = 3abc [/ matemáticas]

Ahora, la expresión es

[matemáticas] \ dfrac {a ^ 2} {2a ^ 2 + bc} + \ dfrac {b ^ 2} {2b ^ 2 + ac} + \ dfrac {c ^ 2} {2c ^ 2 + ab} [/ matemáticas ]

Haciendo un denominador común,

= [matemáticas] \ dfrac {4a ^ 2 b ^ 2 c ^ 2 + 2a ^ 3 b ^ 3 + 2a ^ 3 c ^ 3 + a ^ 4 bc + 4a ^ 2 b ^ 2 c ^ 2 + 2b ^ 3 c ^ 3 + 2a ^ 3 b ^ 3 + b ^ 4 ac + 4a ^ 2 b ^ 2c ^ 2 + 2a ^ 3 c ^ 3 + 2b ^ 3 c ^ 3 + c ^ 4ab} {8a ^ 2 b ^ 2 c ^ 2 + 4 (a ^ 3 b ^ 3 + a ^ 3 c ^ 3 + b ^ 3 c ^ 3) + 2 a ^ 4 bc + 2a b ^ 4 c + 2a bc ^ 4 + a ^ 2 b ^ 2 c ^ 2} [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ dfrac {12a ^ 2 b ^ 2 c ^ 2 + 4a ^ 3 b ^ 3 + 4a ^ 3 c ^ 3 + 4b ^ 3 c ^ 3 + abc (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3)} {9a ^ 2 b ^ 2 c ^ 2 + 4 (a ^ 3 b ^ 3 + a ^ 3 c ^ 3 + b ^ 3 c ^ 3) + 2abc (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3)} [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ dfrac {12a ^ 2b ^ 2c ^ 2 + 4a ^ 3b ^ 3 + 4a ^ 3c ^ 3 + 4b ^ 3c ^ 3 + abc (3abc)} {9a ^ 2b ^ 2c ^ 2 + 4 (a ^ 3b ^ 3 + a ^ 3c ^ 3 + b ^ 3c ^ 3) + 2abc (3abc)} [/ math] (sustituyendo (i))

= [matemáticas] \ dfrac {15a ^ 2b ^ 2c ^ 2 + 4a ^ 3b ^ 3 + 4a ^ 3c ^ 3 + 4b ^ 3c ^ 3} {15a ^ 2b ^ 2c ^ 2 + 4 (a ^ 3b ^ 3 + a ^ 3c ^ 3 + b ^ 3c ^ 3)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] \ dfrac {a ^ 2} {2a ^ 2 + bc} + \ dfrac {b ^ 2} {2b ^ 2 + ac} + \ dfrac {c ^ 2} {2c ^ 2 + ab} = 1 [/ matemáticas]

Espero que esto haya ayudado

Editar: Dado que LaTeX no parece renderizarse correctamente debido a las expresiones largas, agregaré una imagen de mi trabajo. Espero que sea legible 🙂

Editar: Gracias a Kumar Pushpesh por ayudarme a resolver el problema con LaTeX.

Answer 2

Hagamos lo siguiente:

1. [matemáticas] a ^ 2 = a ^ 2 – a (a + b + c) = -a (b + c) [/ matemáticas]
2. [matemáticas] 2a ^ 2 + bc = 2a ^ 2 + bc – a (a + b + c) = – (a – b) (c – a) [/ matemáticas]
3. [matemáticas] \ frac {a ^ 2} {2a ^ 2 + bc} = 1 – \ frac {a ^ 2 + bc} {2a ^ 2 + bc} = 1 + \ frac {a ^ 2 + bc} {( a – b) (c – a)} [/ matemáticas]

Nota: Los tres anteriores son para el primer término en la suma, uno puede reemplazar b por a, c para b & a para c en los tres anteriores para el segundo término yc para a, a para b & b para c para el tercer término.

Ahora aplicando 1 y 2 en los dos primeros términos de la suma original se obtiene

[matemáticas] \ frac {a (b + c)} {(a – b) (c – a)} + \ frac {b (c + a)} {(b – c) (a – b)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {a (b ^ 2 – c ^ 2) + b (c ^ 2 – a ^ 2)} {(a – b) (b – c) (c – a)} [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ frac {c ^ 2 + ab} {(b – c) (c – a)} [/ matemáticas]

Aplique 3 en el tercer término que obtendrá

[matemáticas] 1 + \ frac {c ^ 2 + ab} {(b – c) (c – a)} [/ matemáticas]

Así que suma los dos da la suma original como [matemáticas] 1 [/ matemáticas].

Answer 3

La forma más corta de responder esta pregunta, especialmente si se trata de una pregunta de tipo objetivo, es sustituir los valores [matemática] a = 1 [/ matemática], [matemática] b = -1 [/ matemática] y [matemática] c = 0 [/ matemáticas]. El truco aquí es que, dado que se supone que la pregunta es válida, la expresión debe ser válida para todos los conjuntos de valores de [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática], [matemática] c [ / math] que satisfacen la condición dada.

En la sustitución, el valor de la expresión se obtiene fácilmente como [math] \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {2} = 1 [/ math]

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Editar: Incluyendo el método largo a continuación:

Podemos usar la simetría de la expresión dada para reducir nuestros cálculos.

Al agregar el primer término en el numerador será:

[matemáticas] a ^ 2 \ veces (4b ^ 2c ^ 2 + 2ac ^ 3 + 2ab ^ 3 + a ^ 2bc) [/ matemáticas]

= [matemáticas] 4a ^ 2b ^ 2c ^ 2 + 2a ^ 3c ^ 3 + 2a ^ 3b ^ 3 b ^ 3 + a ^ 4bc [/ matemáticas]

Por simetría podemos escribir los dos restantes como:

[matemáticas] 4a ^ 2b ^ 2c ^ 2 + 2b ^ 3c ^ 3 + 2a ^ 3b ^ 3 + ab ^ 4c [/ matemáticas]

[matemáticas] 4a ^ 2b ^ 2c ^ 2 + 2a ^ 3c ^ 3 + 2b ^ 3c ^ 3 + abc ^ 4 [/ matemáticas]

Sumando los tres anteriores, obtenemos:

[matemáticas] 12a ^ 2b ^ 2c ^ 2 + 4 (a ^ 3b ^ 3 + b ^ 3c ^ 3 + c ^ 3a ^ 3) + abc (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3) [/ matemáticas]

Ahora, ya que [matemáticas] a + b + c = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = 3abc [/ matemáticas]

Así numerador = [matemática] 12a ^ 2b ^ 2c ^ 2 + 4 (a ^ 3b ^ 3 + b ^ 3c ^ 3 + c ^ 3a ^ 3) + 3a ^ 2b ^ 2c ^ 2 [/ matemática]

[matemática] \ Rightarrow [/ matemática] [matemática] N ^ r [/ matemática] = [matemática] 15a ^ 2b ^ 2c ^ 2 + 4 (a ^ 3b ^ 3 + b ^ 3c ^ 3 + c ^ 3a ^ 3 )[/matemáticas]

El paso restante es obtener el denominador multiplicando todos los iniciales. Gran tarea, pero ya tienes el producto de dos de tus cálculos anteriores.

Entonces, solo tenemos que multiplicar [matemáticas] (2a ^ 2 + bc) \ veces (4b ^ 2c ^ 2 + 2ac ^ 3 + 2ab ^ 3 + a ^ 2bc) [/ matemáticas]

= [matemáticas] 8a ^ 2b ^ 2c ^ 2 + 4a ^ 3c ^ 3 + 4a ^ 3b ^ 3 + 2a ^ 4bc + 4b ^ 3c ^ 3 + 2abc ^ 4 + 2ab ^ 4c + a ^ 2b ^ 2c ^ 2 [ /matemáticas]

= [matemáticas] 9a ^ 2b ^ 2c ^ 2 + 4 (a ^ 3b ^ 3 + b ^ 3c ^ 3 + c ^ 3a ^ 3) + 2abc (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3) [/ matemáticas ]

= [matemáticas] 9a ^ 2b ^ 2c ^ 2 + 4 (a ^ 3b ^ 3 + b ^ 3c ^ 3 + c ^ 3a ^ 3) + 6a ^ 2b ^ 2c ^ 2 [/ matemáticas]

= [matemáticas] 15a ^ 2b ^ 2c ^ 2 + 4 (a ^ 3b ^ 3 + b ^ 3c ^ 3 + c ^ 3a ^ 3) [/ matemáticas]

que es el mismo que el numerador que se encuentra arriba.

Así [matemáticas] \ dfrac {N ^ r} {D ^ r} = 1 [/ matemáticas]

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Sé muy bien que el acceso directo discutido anteriormente fallará si el resultado es af (a, b, c). Pero, aún será útil si la pregunta se basa en objetivos. Podemos elegir un conjunto particular de valores y eliminar opciones que no dan el mismo resultado con el conjunto, sustituyendo el conjunto en las opciones mismas.

Es decir, si suponemos que tenemos que verificar una f particular (a, b, c) de las opciones. Encontramos el valor de expresión en (1, -1,0) = v. Verificamos si f (1, -1,0) = v o no. Si no, entonces esa opción se elimina.

Inicialmente respondí el atajo porque actualmente no estoy en la escuela secundaria.

Answer 4

Cuando se trata de preguntas de opción múltiple, su mejor opción será sustituir los valores. Será complicado en un examen cronometrado resolver el denominador.

Ponga a = 0, b = 1 & c = -1.

Entonces la ecuación se reduce a 0 + 1/2 + 1/2.

La metodología de sustitución de resolución de problemas es la clave para descifrar muchos exámenes y pruebas difíciles. Mi sugerencia es que, incluso si tiene tiempo suficiente para resolver este tipo de problemas, es mejor darle una oportunidad justa a la sustitución.

La clave para resolver problemas más rápido es saber dónde se puede aplicar la sustitución.

En el mismo problema, habría fallado miserablemente si hubiera usado 1, 1 y -2. En el campo del software, se denominan variables de prueba. Si bien es simple elegir nuestras variables, se convierte en una flecha necesaria en nuestro arsenal que puede ahorrar mucho tiempo en los exámenes competitivos.

PD: La solución y prueba tradicional es directamente del octavo estándar de Matemáticas.

Answer 5

Desde entonces, solo tenemos que encontrar el valor de la expresión dada y dado que no hay restricciones dadas en a, by c. Asumiremos valores de a, byc de modo que a + b + c = 0,

Deje a = -1, b = 1, c = 0 y tenemos a + b + c = -1 + 1 + 0 = 0 (Condición dada)

Ahora, [matemáticas] \ frac {a ^ 2} {2a ^ 2 + bc} + \ frac {b ^ 2} {2b ^ 2 + ca} + \ frac {c ^ 2} {2c ^ 2 + ab} = \ frac {(- 1) ^ 2} {2 (-1) ^ 2 + (1) (0)} + \ frac {1 ^ 2} {2 (1) ^ 2 + (0) (- 1)} + \ frac {0 ^ 2} {2 (0) ^ 2 + (- 1) (1)} [/ matemáticas]

Resolviendo más, [matemáticas] \ frac {1} {2 + 0} + \ frac {1} {2 + 0} + \ frac {0} {0 + (- 1)} = \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} + 0 = 1 [/ matemáticas]

Sin embargo, también puede resolverlo a través de la ecuación (método algebraico), ¡pero eso será muy largo!

Answer 6

Puede decir en 5 segundos que la respuesta es 1. En un examen objetivo; tendrá cuatro opciones, como el valor de la función dada es A. 1, B. 0, C.1 / 2, D. 2; incluso si las cuatro opciones están en términos de a, b, c, entonces ponga el valor de a, b, c en opciones para eliminar respuestas incorrectas. Hay muchas posibilidades de que elimine todas las opciones incorrectas.

Nunca lo resuelva por el método tradicional en un examen objetivo, ya que es una pérdida de tiempo terrible y terminará omitiendo otras preguntas. Se trata de resolver rápidamente preguntas; no es tu habilidad para resolverlo en 5 minutos.

Elija el valor más conveniente de a, b, c que satisfaga a + b + c = 0

Elegiré a = 1, b == 0, c = -1

Al usar estos valores, la función se reduce a 1/2 + 0 + 1/2 = 1

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Hay 3 ecuaciones desconocidas y solo una a + b + c = 0; cuando resuelves este tipo de preguntas; todo se cancela y obtienes una respuesta definitiva; que es independiente del valor de a, b, c;

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Ejecuto “The Quants Blog” en Quora para compartir una forma alternativa de responder preguntas de aptitud cuantitativa. Para resolver esto por métodos tradicionales; por favor consulte otras respuestas dadas aquí.

Answer 7

Tengo que robarle algo a Rajesh Durgapal y proceder.

[matemáticas] 2a ^ 2 + bc = – (ab) (ca) [/ matemáticas]

Primer término = [matemáticas] \ frac {a ^ 2} {2a ^ 2 + bc} = \ frac {a ^ 2} {- (ab) (ca)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {a ^ 2 (bc)} {- (ab) (ca) (bc)} [/ matemáticas] multiplicando tanto el numerador como el denominador por bc. No hace falta decir que todos los términos tendrán el mismo denominador. Después de tomar este común denominador, obtenemos el numerador de términos combinados.

[matemáticas] a ^ 2 (bc) + b ^ 2 (ca) + c ^ 2 (ab) ………. (1) [/ matemáticas]

Tenemos que mostrar cómo se relaciona con el denominador. Expandir está bien Expandir denominador requiere un poco de esfuerzo.

En cambio, si ponemos b = c en (1), resulta que es 0. De forma similar c = a y a = b. Esto muestra que el numerador es divisible por (bc) (ca) (ab). Las potencias totales de a, b , c sugiere que no hay más factores. Ahora el problema es si la relación es 1 o -1.

Comparando cualquier término, diga [math] a ^ 2b [/ math] en (1) y el producto sugiere que de hecho es – (bc) (ca) (ab) . Ahora encontramos que el numerador y los denominadores son iguales y el valor de la expresión es [math] \ boxed {1} [/ math]

Para aquellos que se presentan a exámenes competitivos y el tiempo es muy importante, el método de sustitución es adecuado.

Answer 8

La respuesta es 1

Supongamos un número que satisfaga la ecuación dada a + b + c = 0

Podemos tomar a = 0, b = 1, c = -1

Sustituir los valores en una ecuación dada

1/2 + 1/2 = 1

Answer 9

Como a + b + c = 0

Supongamos que a = 1, b = -1 y c = 0 (Esto todavía hace que a + b + c = 0)

Ahora podemos calcular fácilmente el valor simplemente sustituyendo los valores supuestos en la ecuación.

1/2 + 1/2 + 0 = 1

Espero que esto ayude.

Answer 10

Answer 11

Como a + b + c = 0, al dejar cualquiera de a, b, c = 0,
La expresión dada se reduce a 1/2 + 1/2 = 1.