¿Por qué una función exponencial no es un polinomio?

Answer 1

No está del todo mal. Por definición, un polinomio debe tener [matemáticas] x [/ matemáticas] como la base de cualquier exponente y una función exponencial tiene [matemáticas] x [/ matemáticas] está en la potencia del exponente. Sin embargo, podemos hacer un polinomio que sea idéntico a cualquier función exponencial.

[matemáticas] e ^ x = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n!} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2} + \ frac {x ^ 3} {6} + \ frac {x ^ 4} {24}… [/ matemáticas]

Si cambiamos la base a … digamos, 2, obtenemos:

[matemáticas] 2 ^ x = (e ^ {\ ln (2)}) ^ x = e ^ {\ ln (2) x} = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {( \ ln (2) x) ^ n} {n!} [/ math]

[matemáticas] = 1+ \ ln (2) x + \ frac {(\ ln (2)) ^ 2x ^ 2} {2} + \ frac {(\ ln (2)) ^ 3x ^ 3} {6} + \ frac {(\ ln (2)) ^ 4x ^ 4} {24}… [/ matemáticas]

Y si lo volteamos y lo movemos hacia arriba 4 y lo desplazamos hacia la derecha 5

[matemáticas] 4-e ^ {\ ln (2) (x-5)} = 4- \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(\ ln (2) (x-5) ) ^ n} {n!} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 3- \ ln (2) (x-5) – \ frac {(\ ln (2)) ^ 2 (x-5) ^ 2} {2} – \ frac {(\ ln (2) ) ^ 3 (x-5) ^ 3} {6} – \ frac {(\ ln (2)) ^ 4 (x-5) ^ 4} {24}… [/ matemáticas]

Realmente puedes hacer mucho con eso.

Answer 2

La derivada de un polinomio p (x) no es igual a p (x) ni contiene una copia de sí misma, como es el caso con [matemáticas] e ^ x: (d / dx) (e ^ x) = e ^ x [/ matemáticas]. De manera informal, la función exponencial es (localmente y en el límite) un polinomio [matemático] e ^ x = \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {f ^ {(n)} (x )} {n!} [/ math], donde [math] f ^ {n} (x) [/ math] es la enésima derivada de [math] e ^ x; (d / dx) e ^ x = e ^ x [/ matemáticas]

Answer 3

Mira lo que hacen los polinomios como [math] x \ to \ pm \ infty [/ math]. Cualquier polinomio irá al infinito positivo o negativo en esos límites.

Ahora mira cómo actúa un exponencial. Hacia el infinito negativo va a cero, no al infinito.

Por lo tanto, los exponenciales no pueden ser polinomiales.

Answer 4

Una función polinómica se puede expresar como:

[matemáticas] f: X \ a Y [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ mapsto \ sum_ {i = 0} ^ na_ix ^ i [/ matemáticas]

[math] a_i \ en R [/ math] un anillo y [math] n \ in \ mathbb {N} _0 [/ math]

Como no puede expresar la función exponencial como esta, no es un polinomio.

Answer 5