Supongo que lo que desea expandir es la función [matemáticas] g: (x, y) \ mapsto f (x + y) [/ matemáticas].
Lo primero que debemos notar es:
[matemática] \ frac {\ parcial g} {\ parcial x} (x, y) = f ‘(x + y) [/ matemática]
[matemática] \ frac {\ parcial g} {\ parcial y} (x, y) = f ‘(x + y) [/ matemática]
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y, más generalmente, dado [matemáticas] p, q \ in \ N [/ matemáticas],
[math] \ frac {\ partial ^ {p + q} g} {\ partial ^ px \ partial ^ qy} = f ^ {(p + q)} (x + y) [/ math].
Entonces, ahora para la expansión Taylor de [math] g [/ math] alrededor de [math] (x_0, y_0) [/ math]:
[matemáticas] \ displaystyle g (x, y) = g (x_0, y_0) + \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac1 {k!} \ sum_ {l = 0} ^ k \ binom {k} {l } \ frac {\ partial ^ kg} {\ partial ^ lx \ partial ^ {k – l} y} (x_0, y_0) (x – x_0) ^ l (y – y_0) ^ {k – l} + \ matemática {o} (\ | (x – x_0, y – y_0) \ | ^ n) [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle g (x, y) = g (x_0, y_0) + \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {f ^ {(k)} (x_0 + y_0)} {k!} \ sum_ {l = 0} ^ k \ binom {k} {l} (x – x_0) ^ l (y – y_0) ^ {k – l} + \ mathcal {o} (\ | (x – x_0, y – y_0 ) \ | ^ n) [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle g (x, y) = g (x_0, y_0) + \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {f ^ {(k)} (x_0 + y_0)} {k!} (( x – x_0) + (y – y_0)) ^ k + \ mathcal {o} (\ | (x – x_0, y – y_0) \ | ^ n) [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle f (x + y) = f (x_0 + y_0) + \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {f ^ {(k)} (x_0 + y_0)} {k!} (( x + y) – (x_0 + y_0)) ^ k + \ mathcal {o} (\ | (x – x_0, y – y_0) \ | ^ n) [/ math]
Curiosamente, encontramos la misma expansión de Taylor que tendríamos si aplicamos la expansión de Taylor de [matemáticas] f [/ matemáticas] a [matemáticas] x + y [/ matemáticas] alrededor de [matemáticas] x_0 + y_0 [/ matemáticas] .