Cómo encontrar [math] \ frac {\ mathrm dv} {\ mathrm dx} [/ math] en términos de x if [math] x = t ^ 2 + t [/ math]

Answer 1

La forma más sencilla de hacer esto es resolver primero t en términos de x.

[matemáticas] t = \ frac {-1 \ pm \ sqrt {1 + 4x}} {2} [/ matemáticas]

Ahora, aquí hay un truco que puedes usar, según la regla de la cadena:

[matemáticas] \ frac {dv} {dx} = \ frac {dv} {dt} \ frac {dt} {dx} [/ matemáticas]

Podemos encontrar [matemáticas] \ frac {dt} {dx} [/ matemáticas] al diferenciar la primera ecuación que escribí

[matemáticas] \ frac {dt} {dx} = \ pm \ left (1 + 4x \ right) ^ {- \ frac {1} {2}} [/ math]

Y [matemática] \ frac {dv} {dt} [/ matemática] se puede encontrar diferenciando dos veces la ecuación con la que comenzamos:

[matemáticas] \ frac {dv} {dt} = 2 [/ matemáticas]

Entonces, la respuesta es

[matemáticas] \ frac {dv} {dx} = \ pm 2 \ left (1 + 4x \ right) ^ {- \ frac {1} {2}} [/ math]

Hay otra forma de hacerlo, que es aún más directa, ahora que lo pienso.

Una vez que haya resuelto para t, diferencie la ecuación con la que comienza una vez:

[matemáticas] v = 2t + 1 [/ matemáticas]

Ahora, sustituye en t en términos de x:

[matemáticas] v = -1 \ pm \ sqrt {1 + 4x} [/ matemáticas]

Ahora, diferencie ambos lados, y obtendrá la misma respuesta

Answer 2

Si observas desde tu ecuación de desplazamiento,

v = 2t + 1

De la ecuación dada, resolviendo para t, tenemos

t = {-1 +/- sqrt (1 + 4x)} / 2

Sustituyendo esto en la ecuación de velocidad anterior da:

v = +/- sqrt (1 + 4x)

Dando

dv / dx = +/- 4 / sqrt (1 + 4x)

Answer 3

① v = dx / dt = 2t + 1 … dv / dt = 2

dv / dx = (dv / dt) / (dx / dt) = 2 / vo 2 / (1 + 2t)

dv / dx = 2 / v ☜☜

② vdv = 2dx

∫vdv = 2∫dx

½v² = 2x + C

③ v² = 4x + C ‘

v² = 4x + 4C ”

v² = 4 (x + C ”)

v = 2√ (x + k)

④ 2v (dv / dx) = 4

∴dv / dx

= 2 / v

= 2 / 2√ (x + k)

= 1 / √ (x + k) ..k = constante arbitraria

Answer 4

Primero, obtengamos una expresión para [math] v [/ math] en términos de [math] t [/ math]: [math] v = \ frac {dx} {dt} = 2t + 1 [/ math].

Todo lo que necesitamos hacer es escribir [matemáticas] v [/ matemáticas] en términos de [matemáticas] x [/ matemáticas], de alguna manera. Realmente podemos hacer esto de la siguiente manera:

[matemáticas] x = t ^ 2 + t = (t ^ 2 + t + \ frac {1} {4}) – \ frac {1} {4} = (t + \ frac {1} {2}) ^ 2 – \ frac {1} {4} = (\ frac {v} {2}) ^ 2 – \ frac {1} {4} = \ frac {v ^ 2-1} {4} [/ matemáticas]

Esto significa que [matemática] v ^ 2 – 1 = 4x [/ matemática], entonces [matemática] v = \ pm \ sqrt {4x + 1} [/ matemática]. Tiene sentido que obtengamos dos valores posibles, ya que cada punto con [math] x> – \ frac {1} {4} [/ math] se visita dos veces. Si solo consideramos aquellos puntos para los cuales [math] t> 0 [/ math], solo necesitamos la raíz positiva.

Las dos soluciones para [math] \ frac {dv} {dx} [/ math] son ​​[math] \ pm \ frac {2} {\ sqrt {4x + 1}} [/ math], con el valor negativo para [ math] t \ leq – \ frac {1} {2} [/ math] y el valor positivo de [math] t \ geq – \ frac {1} {2} [/ math].

Answer 5

Tenemos [matemáticas] x = t ^ 2 + t [/ matemáticas]

Diferenciando con respecto a t obtenemos [matemáticas] \ frac {dx} {dt} = 2t + 1 [/ matemáticas]

[math] \ frac {dx} {dt} [/ math] es solo la tasa de cambio de desplazamiento con respecto al tiempo. Esto se define como velocidad y, por lo tanto, podemos escribir [matemáticas] v = 2t + 1 [/ matemáticas]

Desde aquí hay varias formas diferentes de encontrar [matemáticas] \ frac {dv} {dx} [/ matemáticas]

Aquí hay un método:

[matemáticas] \ frac {dv} {dx} = \ dfrac {\ frac {dv} {dt}} {\ frac {dx} {dt}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dv} {dx} = \ frac {2} {2t + 1} [/ matemáticas]

Ahora solo necesitamos escribir esto en términos de x.

[matemáticas] t ^ 2 + tx = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] t = \ dfrac {-1 \ pm \ sqrt {1 + 4x}} {2} [/ matemáticas]

entonces [matemáticas] \ frac {dv} {dx} = \ dfrac {2} {\ pm \ sqrt {1 + 4x}} [/ matemáticas]

Answer 6

v = dx / dt = 2t + 1

dv / dx = [dv / dt] / dx / dt = 2 / v = 2 / [2t + 1], ecuación 1

t ^ 2 + tx = 0 entonces t = [-1 + / – (1 + 4x)] ^ (1/2)] / 2

entonces 2t + 1 = + o – [1 + 4x] ^ (1/2) sustituye en la ecuación 1

dv / dx = + o- 2 / [1 + 4x] ^ (1/2)

Answer 7

dx / dt = 2t + 1 = v = dx / dv. dv / dt

dv / dt = 2

2dx / dv = 2t + 1 → dv / dx = 2 / 2t + 1

Pero t = -1 / 2 + – sqrt (1 + 4x) / 2