¿Cómo se resuelve [matemáticas] x ^ 2 = x-1 [/ matemáticas]?

Answer 1

Cómo se podría resolver para [matemáticas] x [/ matemáticas] es obtener la ecuación en una forma polinómica familiar, luego resolver usando los enfoques típicos.

[matemáticas] x ^ 2 = x-1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2-x + 1 = 0 [/ matemáticas]

Esa es una ecuación cuadrática estándar, que se puede resolver adivinando cómo factorizarla en la forma [math] (xa) (xb) = 0 [/ math] o usando la fórmula cuadrática, que dice que las dos raíces de [math] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática] son ​​[matemática] x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2–4ac}} {2a} [/ matemática]. Entonces, dada la ecuación cuadrática anterior, [matemáticas] (a, b, c) = (1, -1, 1) [/ matemáticas] y, por lo tanto, las raíces son:

[matemáticas] x = \ frac {1 \ pm \ sqrt {–3}} {2} = \ frac {1} {2} \ pm \ frac {\ sqrt {3}} {2} i [/ matemáticas]

En el plano complejo, esos dos puntos están en el círculo unitario (es decir, están a una distancia de 1 del origen) y puede determinarlo tomando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las partes real e imaginaria. También forman un ángulo de 120 grados entre sí y con el punto complejo [matemáticas] -1 + 0i [/ matemáticas]. Una consecuencia de esas dos observaciones es que esos puntos serían raíces cúbicas de [matemáticas] -1 [/ matemáticas]. Entonces tiene razón en que [math] x = \ sqrt [3] {- 1} [/ math] parece funcionar en la ecuación original.

Pero tienes que tener cuidado. Hay dos raíces (no necesariamente distintas, no necesariamente reales) en una ecuación cuadrática y hay tres raíces (no necesariamente distintas, no necesariamente reales) en una ecuación cúbica. Eso significa que hay tres valores para [math] x = \ sqrt [3] {- 1} [/ math]: son [math] \ frac {1} {2} + \ frac {\ sqrt {3}} { 2} [/ matemática], [matemática] \ frac {1} {2} – \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemática] y [matemática] -1 [/ matemática]. Las dos primeras raíces de [matemáticas] x = \ sqrt [3] {- 1} [/ matemáticas] son ​​soluciones a su ecuación cuadrática, pero la tercera, [matemáticas] -1 [/ matemáticas], no lo es.

Answer 2

[matemáticas] x ^ 2 = x-1
[/matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2-x + 1 = 0 [/ matemáticas]

Resolver usando la fórmula cuadrática da como resultado una raíz cuadrada negativa, por lo que la respuesta no es real, es compleja:

[matemáticas] x \ aproximadamente 0.5 \ pm 0.866i [/ matemáticas]

Answer 3

Si estaba utilizando un sistema de álgebra computacional, ingenuamente podría darle [matemática] (- 1) ^ {\ frac {1} {3}} [/ matemática]. Esto pasa a ser una raíz cúbica de la unidad. Y su respuesta es la misma (por buenas razones, que van más allá de resolver un simple cuadrático).

Para comenzar, debe ser escéptico de que un proceso de solución a una cuadrática simple resulte en un término con una raíz cúbica. Como debe ser un instructor.

Si hicieras esto a mano, sospecharía que te has confundido al pasar de [matemáticas] \ sqrt {-3} [/ matemáticas] de alguna manera a [matemáticas] (- 1) ^ {1/3} [/ matemáticas].

Resolver:

[matemáticas] x ^ 2 = x – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 – x + 1 = 0 [/ matemáticas]

Por la ecuación cuadrática …

[matemáticas] x = \ frac {- (- 1) \ pm \ sqrt {1 ^ 2–4 (1) (1)}} {(2) (1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {1 \ pm \ sqrt {-3}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {1} {2} \ pm \ frac {\ sqrt {-3}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {1} {2} \ pm \ frac {\ sqrt {3}} {2} i [/ matemáticas]

Si te sientes atrevido, puedes poner estos números en cubos y verificar que sean iguales a -1.

Answer 4

[matemáticas] x ^ 2 = x – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 – x + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 – x + \ frac {1} {4}) + \ frac {3} {4} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x – \ frac {1} {2}) ^ 2 = \ frac {-3} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] x – \ frac {1} {2} = \ frac {\ pm i \ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {1 \ pm i \ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

Answer 5

La mayoría de las respuestas solo intentan mostrarle la respuesta, en lugar de explicar por qué la respuesta es una de las raíces complejas del cubo de [matemáticas] -1 [/ matemáticas]. Trataré de explicar por qué.

De

[matemáticas] x ^ 2 = x-1 [/ matemáticas]

obtenemos

[matemáticas] x ^ 2-x + 1 = 0 [/ matemáticas]

Si multiplicamos esto por [matemáticas] (x + 1) [/ matemáticas] en ambos lados, y nos aseguramos de no contar la solución [matemáticas] x = -1 [/ matemáticas], obtenemos

[matemáticas] (x + 1) (x ^ 2-x + 1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ sqrt [3] {- 1} [/ matemáticas]

Por lo tanto, la solución es [matemática] x = \ sqrt [3] {- 1} [/ matemática], pero [matemática] x \ neq -1 [/ matemática]. En cambio, obtenemos las raíces de las que todos los demás están hablando, que son las complejas raíces cúbicas de la unidad.

Answer 6

Como [matemáticas] x ^ 3 + 1 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) [/ matemáticas] hay tres raíces cúbicas de -1, es decir -1 y las dos raíces de su ecuación.

Answer 7

Puedes resolverlo usando la ecuación cuadrática . Lleva todas las variables y números a un lado. La respuesta, sin embargo, será un número imaginario, no un número real. La respuesta es { 1 + 1.73i} \ 2 o {1–1.73i} \ 2.

Espero que esto ayude.

Answer 8

Espero eso ayude.

Answer 9

x² = x-1

x²-x + 1 = 0

x = {- (- 1) ± √ (-1²-4 * 1 * 1)} / 2 * 1

x = (1 ± √-3) / 2

x tiene dos valores

(1 + √3 i ) / 2, (1 – √3 i ) / 2