¿Cuántos pares de enteros positivos (a, b) satisfacen la ecuación ab = a + b + 20?

Answer 1

ab = a + b + 20

→ ab – b = a + 20 → b (a – 1) = a + 20

→ b = (a + 20) / (a ​​- 1) ………. (1)

Además, ab = a + b + 20

→ ab – a = b + 20 → a (b – 1) = b + 20

→ a = (b + 20) / (b – 1) ………. (2)

Tenga en cuenta la similitud en las ecuaciones (1) y (2).

Para que “b” sea un entero positivo, los diversos valores que puede tomar el entero “a” son 2, 4, 8 y 22, para los cuales los valores del entero “b” son 22, 8, 4 y 2 basados ​​en la ecuación (1)

A medida que aumenta el valor del entero “a”, se reduce el valor del entero “b”. Además, de la ecuación (2), vemos que el valor mínimo que puede tomar el entero “b” es 2.

Por lo tanto, los enteros “a” y “b” no pueden tomar valores mayores que 22.

Por lo tanto, vemos que solo hay cuatro pares de enteros positivos (a, b) que satisfacen el requisito dado y estos pares ordenados son (2, 22), (4, 8), (8, 4) y (22, 2) .

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Answer 2

No hay pares que satisfagan esto.

Answer 3

Preguntas de este tipo han sido respondidas repetidamente en Quora. Desearía que hubiera alguna manera de señalar fácilmente uno.

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[math] ab = a + b + 20 [/ math] es lo mismo que [math] ab-a-b + 1 = 21 [/ math]. Como [math] ab-a-b + 1 = (a-1) (b-1) [/ math] y [math] a [/ math], [math] b [/ math] son ​​enteros positivos , [ matemáticas] \ {a-1, b-1 \} = \ {1,21 \} [/ matemáticas] o [matemáticas] \ {3,7 \} [/ matemáticas]. Por lo tanto, los posibles pares ordenados [matemática] (a, b) [/ matemática] son ​​[matemática] (2,22) [/ matemática], [matemática] (22,2) [/ matemática], [matemática] (4, 8) [/ matemáticas], [matemáticas] (8,4) [/ matemáticas].

Hay cuatro pares ordenados [matemática] (a, b) [/ matemática] de enteros positivos . [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]