¿Cuál es la expresión para la serie Taylor de ln (e ^ 1 + x ^ 2) ^ x?

Answer 1

Si se supone que es el logaritmo natural de [matemáticas] (e + x ^ 2) ^ x [/ matemáticas], puede trabajar de la siguiente manera:

[matemáticas] f (x) = \ ln \ left ((e + x ^ 2) ^ x \ right) = x \ ln (e + x ^ 2) = x \ left (\ ln (e) + \ ln ( 1+ \ frac {x ^ 2} {e}) \ right) = x \ left (1 + \ ln (1+ \ frac {x ^ 2} {e}) \ right) [/ math]

Ahora usaremos series familiares de Maclaurin para construir una serie para nuestra función [math] f (x) [/ math]:

Comience con una serie geométrica:

[matemáticas] \ frac {1} {1 + x} = 1 – x + x ^ 2 – x ^ 3 + \ cdots [/ matemáticas]

Integre con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas] (y tenga en cuenta que como [matemáticas] \ ln (1) = 0 [/ matemáticas] la constante de integración es 0):

[matemáticas] \ ln (1 + x) = x – \ frac {1} {2} x ^ 2 + \ frac {1} {3} x ^ 3 – \ frac {1} {4} x ^ 4 + \ cdots [/ math]

Reemplace [math] x [/ math] con [math] x ^ 2 / e [/ math] en todo

[matemáticas] \ ln (1 + x ^ 2 / e) = \ frac {x ^ 2} {e} – \ frac {x ^ 4} {2e ^ 2} + \ frac {x ^ 6} {3e ^ 3 } – \ frac {x ^ 8} {4e ^ 4} + \ cdots [/ math]

Finalmente, agregue 1, luego multiplique por [math] x [/ math]

[matemáticas] f (x) = x + x \ ln (1 + x ^ 2 / e) = x + \ frac {x ^ 3} {e} – \ frac {x ^ 5} {2e ^ 2} + \ frac {x ^ 7} {3e ^ 3} – \ frac {x ^ 9} {4e ^ 4} + \ cdots [/ math]

Si, por otro lado, la función original era en realidad [matemáticas] f (x) = \ left (\ ln (e + x ^ 2) \ right) ^ x [/ math], entonces no lo hago (todavía) Ver un camino fácil a una solución.