Cómo hago esto: [matemáticas] (- 1) ^ {n + 1} (n + 1) – (-1) ^ {n} (n) = -2 (-1) ^ {n} (n) – (-1) ^ {n} [/ matemáticas]?

Answer 1

Su pregunta es para probar: [matemáticas] (-1) ^ {n + 1} (n + 1) – (-1) ^ n (n) = -2 (-1) ^ n (n) – (-1 ) ^ n [/ matemáticas] _________ (1)

Prueba por inducción,

Para n = 1

[matemáticas] (- 1) ^ {1 + 1} (1 + 1) – (-1) ^ 1 (1) = -2 (-1) ^ 1 (1) – (-1) ^ 1 [/ matemáticas ]

Lo que te dará: 3 = 3

Deje que la ecuación (1) sea verdadera para n = k, es decir

[matemáticas] (- 1) ^ {k + 1} (k + 1) – (-1) ^ k (k) = -2 (-1) ^ k (k) – (-1) ^ k [/ matemáticas ] ________ (2)

Deje n = k + 1, entonces

LHS:

[matemáticas] (- 1) ^ {k + 1 + 1} (k + 1 + 1) – (-1) ^ {k + 1} (k + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (-1) [/ matemáticas] {[matemáticas] (- 1) ^ {k + 1} (k + 1 + 1) – (-1) ^ k (k + 1) [/ matemáticas]}

[matemáticas] = (-1) [/ matemáticas] {[matemáticas] (- 1) ^ {k + 1} (k + 1) + (-1) ^ {k + 1} – (-1) ^ k ( k) – (-1) ^ k [/ matemáticas]}

[matemáticas] = (-1) [/ matemáticas] {[matemáticas] (- 1) ^ {k + 1} (k + 1) – (-1) ^ k (k) + (-1) ^ k (- 1 – 1) [/ matemáticas]}

[matemáticas] = (-1) [/ matemáticas] {[matemáticas] (- 1) ^ {k + 1} (k + 1) – (-1) ^ k (k) + (-1) ^ k (- 2) [/ matemáticas]}

Ahora por ecuación (2)

[matemáticas] (- 1) ^ {k + 1 + 1} (k + 1 + 1) – (-1) ^ {k + 1} (k + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (-1) [/ matemáticas] {[matemáticas] -2 (-1) ^ k (k) – (-1) ^ k –2 (-1) ^ k [/ matemáticas]}

[matemáticas] = (-1) [/ matemáticas] {[matemáticas] -2 (-1) ^ k (k + 1) – (-1) ^ k [/ matemáticas]}

[matemáticas] = -2 (-1) ^ {k + 1} (k + 1) – (-1) ^ {k + 1} [/ matemáticas]

Por lo tanto, por inducción, la ecuación (1) se cumple para todos los n.

Por lo tanto probado

Answer 2

Alguien sugirió la inducción, pero no necesitas eso. Tome [math] (- 1) ^ n [/ math] como factor del lado izquierdo. Obtiene [matemáticas] (- 1) ^ n (- (n + 1) -n) = (-1) ^ n (-2n-1) [/ matemáticas]. Luego divida esto en dos términos para obtener el formulario requerido.

Al simplificar algo, buscar factores comunes es una herramienta básica.