Deje la función f para la cual [matemática] \ mid f ‘(x) \ mid <[/ matemática] [matemática] e ^ {x} [/ matemática]. Si [matemática] a <b [/ matemática] prueba [matemática] \ mid f (b) -f (a) \ mid <e ^ {b} -e ^ {a} [/ math] usando el teorema de Lagrange?

Answer 1

[matemáticas] \ displaystyle | f ‘(x) | <e ^ x \ Leftrightarrow -e ^ x <f' (x) <e ^ x \ tag * {} [/ math]

Entonces tenemos

[matemáticas] \ displaystyle f ‘(x) <e ^ x \ Leftrightarrow f' (x) -e ^ x <0 \ Leftrightarrow \ left (f (x) -e ^ x \ right) '<0 [/ math]

y

[matemáticas] \ displaystyle f ‘(x)> -e ^ x \ Leftrightarrow f’ (x) + e ^ x> 0 \ Leftrightarrow \ left (f (x) + e ^ x \ right) ‘> 0 [/ math ]

• Deje [math] g_1 (x) = f (x) -e ^ x [/ math]

[matemática] g_1 ‘(x) <0, [/ matemática] así que [matemática] g_1 [/ matemática] está disminuyendo

Por lo tanto, para [math] \ displaystyle [/ math] [math] a g_1 (b) \ Leftrightarrow f (a) -e ^ a> f (b) -e ^ b \ Leftrightarrow f (b) -f (a) <e ^ be ^ a \ tag * {(1)} [/ math]

• Deje [math] g_2 (x) = f (x) + e ^ x [/ math]

[matemática] g_2 ‘(x)> 0 [/ matemática], entonces [matemática] g_2 [/ matemática] está aumentando.

Entonces, para [matemáticas] \ displaystyle a <b \ Rightarrow g_2 (a) <g_2 (b) \ Leftrightarrow f (a) + e ^ a – (e ^ be ^ a) \ tag * {(2)} [/ math]

Finalmente, de [matemáticas] (1) [/ matemáticas] y [matemáticas] (2) [/ matemáticas], tenemos:

[matemáticas] \ displaystyle – (e ^ be ^ a) <f (x) <e ^ be ^ a \ Leftrightarrow \ left | f (x) \ right | <e ^ be ^ a [/ math]

Answer 2

No sé cuál de los teoremas de Lagrange – Wikipedia mencionas, pero estoy bastante seguro de que podemos prescindir de él:

Por una parte,

[matemáticas] \ displaystyle \ left | \ int_a ^ b f ‘\ right | = \ left | f (b) -f (a) \ right | [/matemáticas]

Por otra parte,

[matemáticas] \ displaystyle \ left | \ int_a ^ b f ‘\ right | \ le \ displaystyle \ int_a ^ b \ left | f ‘(x) \ right | dx \ le \ int_a ^ be ^ xdx = e ^ be ^ a [/ math]

Alinee estos dos:

[matemáticas] \ left | f (b) -f (a) \ right | \ le e ^ be ^ a [/ math]

Gracias por la A2A

Answer 3

Ver la respuesta de Gaspard Sagot.