¿Qué es [matemáticas] x [/ matemáticas] si [matemáticas] 32 ^ x-16 ^ x-8 ^ x-2 ^ x = 2 ^ x [/ matemáticas]?

Answer 1

¡Ay!

[matemáticas] 32 ^ x – 16 ^ x – 8 ^ x – 2 ^ x = 2 ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ {5x} – 2 ^ {4x} – 2 ^ {3x} – 2 ^ {x} = 2 ^ {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ {4x} – 2 ^ {3x} – 2 ^ {2x} – 2 ^ {0} = 2 ^ {0} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ {4x} – 2 ^ {3x} – 2 ^ {2x} = 2 [/ matemáticas]

Deje [math] y = 2 ^ {x} [/ math]:

[matemáticas] y ^ {4} – y ^ {3} – y ^ {2} = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ {2} (y ^ {2} – y – 1) = 2 [/ matemáticas]

Aplicar Newton-Raphson:

[matemática] y \ aprox -1.15673 [/ matemática] o [matemática] y \ aprox 1.85356 [/ matemática]

[matemáticas] 2 ^ x = -1.15673 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ dfrac {\ log {(- 1.15673)}} {\ log {(2)}} [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ aproximadamente 0.210 + 4.532i [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ x = 1.85356 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ dfrac {\ log {(1.85356)}} {\ log {(2)}} [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ aproximadamente 0.8903 [/ matemáticas]

Respuestas finales:

Real: [matemáticas] x \ aproximadamente 0.8903 [/ matemáticas]

Complejo: [matemáticas] x \ aproximadamente 0.210 + 4.532i [/ matemáticas]

Verificación Gráfica:

Supongo que dado que la solución real era correcta, la compleja también lo es.
Editar: Wolfram Alpha confirma esto.

Answer 2

Tenemos,
32 ^ x-16 ^ x-8 ^ x-2 ^ x = 2 ^ x …………………. (I)
es decir (2 ^ 5) ^ x- (2 ^ 4) ^ x- (2 ^ 3) ^ x-2 * 2 ^ x = 0
es decir (2 ^ x) ^ 5– (2 ^ x) ^ 4- (2 ^ x) ^ 3–2 * (2 ^ x) = 0
Deje (2 ^ x) = y
Entonces
y ^ 5 – y ^ 4-y ^ 3–2y = 0
=> y (y ^ 4-y ^ 3-y ^ 2–2) = 0
y no puede ser cero ya que y = 2 ^ x> 0 para cualquier valor real x.
Entonces,
y ^ 4-y ^ 3-y ^ 2–2 = 0 ……………. ……… .. (II)
Mediante la calculadora / solucionador de ecuaciones cuárticas o mediante la técnica de resolución de ecuaciones cuárticas , obtenemos
Raíz positiva real (ya que solo nos interesa el valor real de x) de la ecuación cuártica (II),
y = 1.8535602775841469 = 2 ^ x
es decir, x = ln (1.8535602775841469) / ln (2) = 0.890299032210 …
Por lo tanto,
Valor real de x = 0.890299032210 …

Answer 3

Trazar el gráfico.

Como podemos observar, [matemáticas] x = 0.89 [/ matemáticas] es una solución. Y también [math] x \ to {-∞} [/ math].

Answer 4

digamos [matemáticas] Y = 2 ^ x [/ matemáticas]

la ecuación se convierte en [matemáticas] Y ^ 5-y ^ 4-y ^ 3–2Y = 0 [/ matemáticas]

desafortunadamente no hay una raíz obvia para este polinomio de 5º grado, por lo que encontrarlos será difícil. (0 es pero no dará una solución para nuestra ecuación)

Answer 5

=> 2 ^ 5x-2 ^ 4x-2 ^ 3x-2 ^ x = 2 ^ x

=> 2 ^ x (16–8–4–1) = 2 ^ x

=> 2 ^ x (3) -2 ^ x = 0

=> 2 ^ x (3–1) = 0

=> 2 ^ 2x = 0

= x = 0

Answer 6

Xlog2 32 – xlog2 16 – xlog2 8 – xlog2 2 – xlog2 2 = 0

5x – 4x -3x -2x = 0

-4x = 0. X = 0