De la ecuación, obtenemos:
[matemáticas] z (y + x) + x \ cdot y = 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] z (y + x) = 3 – x \ cdot y [/ matemáticas]
[matemáticas] z = \ frac {3 – x \ cdot y} {x + y} [/ matemáticas]
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Sabemos que esto tiene que ser mayor que x, y también tiene que ser mayor que y.
[matemáticas] \ frac {3 – x \ cdot y} {x + y}> x [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {3 – x \ cdot y} {x + y}> y [/ matemáticas]
De la primera desigualdad, obtenemos:
[matemáticas] 3 – xy> x ^ 2 + xy [/ matemáticas]
[matemáticas] 3> x ^ 2 + 2xy [/ matemáticas]
[matemáticas] 3> x (x + 2y) [/ matemáticas]
El valor mínimo de y sería 1 cuando x = 1.
De la segunda desigualdad, obtenemos:
[matemáticas] 3 – xy> xy + y ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 3> y ^ 2 + 2xy [/ matemáticas]
[matemáticas] 3> y (y + 2x) [/ matemáticas]
El valor máximo de y sería [math] \ sqrt 3 [/ math] cuando x = 0.
El valor mínimo de y sería 1 cuando x = 1.
Podemos ver que la segunda desigualdad es más restrictiva en y, por lo que y puede pasar de [math] \ sqrt 3 [/ math] a 1 mientras que x va de 0 a 1.
Por lo que puedo decir, esa desigualdad no se puede resolver fácilmente para y, pero se puede resolver fácilmente para x.
[matemáticas] 3> y (y + 2x) [/ matemáticas]
[matemáticas] 3> y ^ 2 + 2xy [/ matemáticas]
[matemáticas] 3 – y ^ 2> 2xy [/ matemáticas]
[matemáticas] x <\ frac {3-y ^ 2} {2y} [/ matemáticas]
x no puede ser mayor que 1, porque si fuera la ecuación final sería falso.
Por lo tanto, conocemos las 3 condiciones límite del problema para x e y
[matemáticas] 0 <y <\ sqrt 3 [/ matemáticas]
[matemática] 0 <x <\ frac {3-y ^ 2} {2y} [/ matemática] cuando [matemática] y \ ge 1 [/ matemática]
[matemática] 0 <x <1 [/ matemática] cuando [matemática] y <1 [/ matemática]
El primer paso para maximizar es verificar las soluciones de borde.
Obviamente, x = 0 e y = 0 son soluciones minimizadoras, porque resultan en 0.
Primero verifiquemos la condición de que x = 1.
Eso nos daría esto:
[matemáticas] y ^ 3 (\ frac {3 – y} {y + 1}) ^ 2 [/ matemáticas]
La circunstancia ideal sería y = 1, lo que daría un valor general de 1.
La condición de borde final sería [matemática] 1 <y <\ sqrt {3} [/ matemática] y [matemática] x = \ frac {3-y ^ 2} {2y} [/ matemática]
Eso nos daría esto:
[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {3-y ^ 2} {2y} \ right) y ^ 3 \ left (\ cfrac {3 – \ cfrac {3-y ^ 2} {2y} \ cdot y} {\ cfrac {3-y ^ 2} {2y} + y} \ right) ^ 2 [/ math]
Lo cual se simplifica bastante para:
[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {3y ^ 4-y ^ 6} {2} \ right) [/ math]
Como se menciona en otra respuesta, esto se maximizaría a 2 cuando [math] y = \ sqrt {2} [/ math] [math] x = \ frac {\ sqrt {2}} {4} [/ math] y [math ] z = \ sqrt {2} [/ matemáticas]
Lo último que tenemos que verificar es una solución interior.
[matemáticas] x \ cdot y ^ 3 \ cdot \ frac {3 – x \ cdot y} {x + y} [/ math]
[matemáticas] \ frac {3xy ^ 3 – x ^ 3y ^ 4} {x + y} [/ matemáticas]
Primero tome la derivada parcial con respecto a x
[matemáticas] \ frac {(3y ^ 3 – 3x ^ 2y ^ 4) (x + y) – (3xy ^ 3 – x ^ 3y ^ 4)} {(x + y) ^ 2} [/ matemáticas]
Segundo, tome la derivada parcial con respecto a y
[matemáticas] \ frac {(9xy ^ 2 – 4x ^ 3y ^ 3) (x + y) – (3xy ^ 3 – x ^ 3y ^ 4)} {(x + y) ^ 2} [/ matemáticas]
Establezca ambos iguales a 0.
[matemáticas] \ frac {(3y ^ 3 – 3x ^ 2y ^ 4) (x + y) – (3xy ^ 3 – x ^ 3y ^ 4)} {(x + y) ^ 2} = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] (3y ^ 3 – 3x ^ 2y ^ 4) (x + y) – (3xy ^ 3 – x ^ 3y ^ 4) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] 3xy ^ 3 – 3x ^ 3y ^ 4 + 3y ^ 4 – 3x ^ 2y ^ 5 – 3xy ^ 3 + x ^ 3y ^ 4 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] 3xy ^ 3 -2x ^ 3y ^ 4 – 3x ^ 2y ^ 5 + 3y ^ 4 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] 3x – 2x ^ 3y – 3x ^ 2y ^ 2 + 3y = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {(9xy ^ 2 – 4x ^ 3y ^ 3) (x + y) – (3xy ^ 3 – x ^ 3y ^ 4)} {(x + y) ^ 2} = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] (9xy ^ 2 – 4x ^ 3y ^ 3) (x + y) – (3xy ^ 3 – x ^ 3y ^ 4) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] 9x ^ 2y ^ 2 – 4x ^ 4y ^ 3 + 9xy ^ 3 – 4x ^ 3y ^ 4 – 3xy ^ 3 + x ^ 3y ^ 4 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] 9x ^ 2y ^ 2 – 4x ^ 4y ^ 3 + 6xy ^ 3 – 3x ^ 3y ^ 4 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] 9x – 4x ^ 3y – 3x ^ 2y ^ 2 + 6y = 0 [/ matemáticas]
Graficar las 2 funciones en desmos muestra que no hay soluciones para ambas en el dominio que estamos viendo.
Con base en esta información, podemos estar muy seguros de que la solución de frontera fue de hecho el valor maximizado de la función dada la información proporcionada.