¿Cuál es la integral de log tan (x)?

Answer 1

De acuerdo, esto no es tan fácil de descifrar.

[matemáticas] \ begin {align} I & = \ int \ ln (\ tan x) \ mathrm dx \\\ hline & \ text {Let} u = \ tan x \ implica \ mathrm du = \ sec ^ 2x \, \ mathrm dx \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ implica \ mathrm dx = \ dfrac {\ mathrm du} {\ sec ^ 2x} \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ implica \ mathrm dx = \ dfrac {\ mathrm du } {1 + u ^ 2} \\\ hline I & = \ int \ dfrac {\ ln u} {u ^ 2 + 1} \ mathrm du \\ & = \ int \ dfrac {\ ln u} {(u + i) (ui)} \ mathrm du \\ & = \ dfrac12 \ int \ left \ {\ dfrac {i \ ln u} {u + i} – \ dfrac {i \ ln u} {ui} \ right \} \ mathrm du \\ & = \ dfrac12 (I_1 + I_2) \\\ hline \ end {align} \ tag * {} [/ math]

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[matemáticas] \ begin {align} I_1 & = \ int \ dfrac {i \ ln u} {u + i} \ mathrm du \\ & \ text {Let} v = u + i \ implica \ mathrm dv = \ mathrm du \\ & = \ int \ dfrac {i \ ln (vi)} {v} \ mathrm dv \\ & = \ int \ dfrac {i \ ln \ left \ {- i (1 + iv) \ right \}} {v} \ mathrm dv \\ & = \ int \ dfrac {i \ ln (-i)} v + \ dfrac {\ ln (1 + iv)} {v} \ mathrm dv \\ & = i \ ln (- i) \ ln v + \ int \ dfrac {\ ln (1 + iv)} v \ mathrm dv \\ & \ text {Let} w = -iv \ implica \ mathrm dw = -i \, \ mathrm dv \\ & = i \ ln (-i) \ ln v + \ int \ dfrac {-i \ ln (1 + vi)} {- iv} \ mathrm dv \\ & = i \ ln (-i) \ ln v + \ int \ dfrac {\ ln (1-w)} {w} \ mathrm dw \\ & = i \ ln (-i) \ ln v- \ mathrm {Li} _2 (w) \\ & = i \ ln (-i ) \ ln (u + i) – \ mathrm {Li} _2 (-iv) \\ & = i \ ln (-i) \ ln (u + i) – \ mathrm {Li} _2 (-i (u + i)) \\ & = i \ ln (-i) \ ln (u + i) – \ mathrm {Li} _2 (1-iu) \\ & = \ boxed {i \ ln (-i) \ ln ( \ tan x + i) – \ mathrm {Li} _2 (1-i \ tan x)} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

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[matemáticas] \ begin {align} I_2 & = \ int- \ dfrac {i \ ln u} {ui} \ mathrm du \\ & \ text {Let} v = ui \ implica \ mathrm dv = \ mathrm du \\ & = -i \ int \ dfrac {\ ln (v + i)} v \ mathrm dv \\ & = – i \ int \ dfrac {\ ln (i (1-iv))} v \ mathrm dv \\ & = -i \ int \ dfrac {\ ln (i)} v + \ dfrac {\ ln (1-iv)} v \ mathrm dv \\ & = – i \ ln i \ ln v- \ int \ dfrac {i \ ln (1-iv)} {v} \ mathrm dv \\ & \ text {Let} w = iv \ implica \ mathrm dw = i \, \ mathrm dv \\ & = – i \ ln i \ ln vi \ int \ dfrac {\ ln (1-w)} {w} \ mathrm dw \\ & = – i \ ln i \ ln v + i \ mathrm {Li} _2 (w) \\ & = – i \ ln i \ ln v + i \ mathrm {Li} _2 (iv) \\ & = – i \ ln i \ ln (ui) + i \ mathrm {Li} _2 (i (ui)) \\ & = – i \ ln i \ ln (ui) + i \ mathrm {Li} _2 (1 + iu) \\ & = \ boxed {-i \ ln i \ ln (\ tan xi) + i \ mathrm {Li} _2 (1 + i \ tan x)} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

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Finalmente

[matemáticas] \ begin {align} I_1 + I_2 & = \ boxed {\ dfrac12i \ ln (-i) \ ln (\ tan x + i) – \ dfrac12 \ mathrm {Li} _2 (1-i \ tan x) – \ dfrac12i \ ln i \ ln (\ tan xi) + \ dfrac12i \ mathrm {Li} _2 (1 + i \ tan x) + C} \ end {align} [/ math]

• [matemática] \ require {action} \ toggle {\ bbox [#FAF, 5px] {\ text {Partial Fraction Result}}} {\ begin {align} \ text {Supongamos que} \\ & \ dfrac {\ ln u } {(u + i) (ui)} = \ dfrac {A \ ln u} {u + i} + \ dfrac {B \ ln u} {ui} \\ & \ implica A \ ln u (ui) + B \ ln u (u + i) = \ ln u \\ & \ implica A (ui) + B (u + i) = 1 \\ & \ implica (A + B) u + (BA) i = 1 \\ & \ text {Comparando coeficientes …} \\ & \ qquad \ qquad \ begin {cases} A + B = 0 \\ (BA) i = 1 \ implica BA = \ dfrac 1i = -i \ end {cases} \\ & \ text {Resolver el sistema da …} \\ & \ qquad \ qquad A = \ dfrac i2, B = – \ dfrac i2 \\ & \ dfrac {\ ln u} {(u + i) (ui)} = \ dfrac i2 \ left \ {\ dfrac {\ ln u} {(u + i)} – \ dfrac {\ ln u} {ui} \ right \} \ end {align}} \ endtoggle \ tag * {} [ /matemáticas]
• [matemáticas] \ require {action} \ toggle {\ bbox [#ABF, 5px] {\ text {Función de Spence}}} {\ begin {align} \ mathrm {Li} _2 (w) = – \ int \ dfrac { \ ln (1-w)} {w} \ end {align}} \ endtoggle \ tag * {} [/ math]

Answer 2

Usando la integración por partes:

Deje [math] v ‘= 1, u = \ ln (\ tan (x)) [/ math]

[matemáticas] \ begin {align *} \ int \ ln (\ tan (x)) dx & = x \ ln (\ tan (x)) – 2 \ int \ frac {1} {2 \ sin (x) \ cos (x)} dx \\ & = x \ ln (\ tan (x)) – 2 \ int \ csc (2x) dx \\ & = x \ ln (\ tan (x)) + \ ln (\ cot (2x)) + C \ end {align *} [/ math]

Para ir de [math] \ int \ csc (2x) dx [/ math] a [math] – \ dfrac {1} {2} \ ln ([/ math] [math] \ cot (2x)) [/ math ], puede sustituir [matemáticas] u = 2x [/ matemáticas], luego multiplique [matemáticas] \ csc (u) [/ matemáticas] por [matemáticas] \ csc (u) + \ tan (u) [/ matemáticas].

Answer 3

Algunos métodos excelentes ya se han mencionado en otras respuestas, por lo que probaré alguna otra técnica.

[matemáticas] \ text {Let} I = \ displaystyle \ int \ ln (\ tan x) \ text {d} x [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int \ ln \ left (\ frac {\ sin x} {\ cos x} \ right) \ text {d} x [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int \ ln (\ sen x) \ text {d} x- \ displaystyle \ int \ ln (\ cos x) \ text {d} x [/ math]

[matemáticas] \ text {Let} I_ {1} = \ displaystyle \ int \ ln (\ sin x) \ text {d} x \ text {y Let} I_ {2} = \ displaystyle \ int \ ln (\ cos x) \ text {d} x [/ math]

[matemáticas] \ text {So}, I_ {1} = \ displaystyle \ int \ ln \ left (\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} \ right) \ text {d} x [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int \ ln \ left (e ^ {ix} -e ^ {- ix} \ right) \ text {d} x- \ ln 2i \ displaystyle \ int \ text {d} x [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int \ ln \ left (\ frac {e ^ {2ix} -1} {e ^ {ix}} \ right) \ text {d} x- \ ln 2i \ displaystyle \ int \ text {d} x [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int \ ln \ left (e ^ {2ix} -1 \ right) \ text {d} x- \ displaystyle \ int \ ln \ left (e ^ {ix} \ right) \ text { d} x- \ ln 2i \ displaystyle \ int \ text {d} x \ tag {1} [/ math]

[matemáticas] \ require {action} \ toggle {\ bbox [#FAF, 5px] {\ text {Para la integración de} \ ln (e ^ {2ix} -1) \ text {haga clic aquí}}} {\ begin { alinear} I & = \ int \ ln (e ^ {ix} -1) \ mathrm dx \\ & \ text {Let} y = 2ix \ implica \ mathrm dy = 2i \ mathrm dx \\ & = \ dfrac1 {2i} \ int \ ln (e ^ y-1) \ mathrm dy \\\ hline & \ text {Integrando por partes obtenemos} \\\ hline I & = – \ dfrac i {2} \ left [y \ ln (e ^ y -1) – \ int \ dfrac {ye ^ y} {e ^ y-1} \ mathrm dy \ right] \\ & = \ frac {-i} {2} y \ ln (e ^ y-1) + \ frac {i} {2} \ int \ dfrac {ye ^ y} {e ^ y-1} \ mathrm dy \\\ hline & \ text {Let} m = e ^ y \ mathrm \ Rightarrow y = \ ln m \ por lo tanto \ text {d} m = e ^ y \ text {d} y \\\ hline I & = – \ dfrac i2y \ ln (e ^ y-1) + \ frac {i} {2} \ int \ dfrac {\ ln m} {m-1} \ mathrm dm \\\ hline & \ text {Let} m = 1-w \ implica \ mathrm dm = – \ mathrm dw \\\ hline I & = – \ dfrac i2y \ ln ( e ^ y-1) + \ frac {i} {2} \ int \ dfrac {\ ln (1-w)} {- w} (- \ mathrm dw) \\ & = – \ frac {i} {2 } yln (e ^ y-1) + i \ int \ dfrac {\ ln (1-w)} w \ mathrm dw \\ & = – \ frac {i} {2} y \ ln (e ^ y-1 ) – \ frac {i} {2} \ int- \ dfrac {\ ln (1-w)} w \ mathrm dw \\ & = – iy \ ln (e ^ y-1) -i \ mathrm {Li} _2 {w} + C \\ & = – \ frac {i} {2} (2ix) \ ln (e ^ {ix} -1) – \ frac {i} {2} \ mathrm {Li} _2 (1 -m) + C \\ & \ boxed {x \ ln (e ^ {2ix} -1) – \ fr ac {i} {2} \ mathrm {Li} _2 (1-e ^ {2ix}) + C} \ end {align}} \ endtoggle [/ math]

[matemáticas] \ text {Entonces, poniendo todos los valores, obtenemos de la ecuación 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] I_ {1} = x \ ln (e ^ {2ix} -1) – \ frac {i} {2} Li_ {2} (1-e ^ {2ix}) – \ frac {ix ^ {2 }} {2} -x \ ln 2i + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {Ahora}, [/ matemáticas]

[matemáticas] I_ {2} = \ displaystyle \ int \ ln \ left (\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} \ right) \ text {d} x [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int \ ln \ left (e ^ {ix} + e ^ {- ix} \ right) \ text {d} x- \ displaystyle \ int \ ln 2 \ text {d} x [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int \ ln \ left (\ frac {e ^ {2ix} +1} {e ^ {ix}} \ right) \ text {d} xx \ ln 2 [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int \ ln \ left (e ^ {2ix} +1 \ right) \ text {d} x- \ displaystyle \ int \ ln (e ^ {ix}) \ text {d} x- xln2 \ tag {2} [/ math]

[matemáticas] \ require {action} \ toggle {\ bbox [#EFA, 5px] {\ text {Para la integración de} \ ln (e ^ {2ix} +1) \ text {haga clic aquí}}} {\ begin { alinear} I & = \ int \ ln (e ^ {2ix} +1) \ mathrm dx \\\ hline & \ text {Let} u = -e ^ {2ix} \ implica \ mathrm du = -2ie ^ {2ix} \ mathrm dx \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ implica \ mathrm dx = – \ dfrac {\ mathrm du} {2ie ^ {2ix}} = \ dfrac {\ mathrm du} {2iu} \\\ hline I & = \ int \ ln (1-u) \ cdot \ dfrac {\ mathrm du} {2iu} \\ & = – \ dfrac i2 \ int- \ dfrac {\ ln (1-u)} u \ mathrm du \\ & = \ dfrac i2 \ mathrm {Li} _2 (u) + C \\ & = \ boxed {\ dfrac i2 \ mathrm {Li} _2 (-e ^ {2ix}) + C} \ end {align}} \ endtoggle [/matemáticas]

[matemáticas] \ text {Entonces, poniendo todos los valores, obtenemos de la ecuación 2,} [/ matemáticas]

[matemáticas] I_ {2} = \ frac {i} {2} Li_ {2} (- e ^ {2ix}) – \ frac {ix ^ {2}} {2} -x \ ln 2 + K [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {Agregando} I_ {1} e I_ {2} \ text {obtenemos}, [/ math]

[matemáticas] I = x \ ln (e ^ {2ix} -1) – \ frac {i} {2} Li_ {2} (1-e ^ {2ix}) – \ frac {ix ^ {2}} { 2} -x \ ln 2i- \ frac {i} {2} Li_ {2} (- e ^ {2ix}) + \ frac {ix ^ {2}} {2} + x \ ln 2 + C ^ \ primer [/ matemáticas]

Las integrales especiales utilizadas son la función de Spence. https://www.google.co.in/url?sa=…

Bueno, por lo general no trato de responder preguntas sobre integración debido a algunos integradores ya excelentes aquí en Quora y también debido a las limitaciones de mi conocimiento sobre el tema, así que siéntase libre de rectificarme si estoy equivocado.

Gracias a Awnon Bhowmik, Siddhartha Ganguly, Aadit Pandey por enseñar muchas de estas integraciones. Gracias..

Answer 4

Déjame presentarte una integral exótica, se llama integral de Clausen y es dada por

[matemática] \ matemática {Cl} _ {2} (\ theta) = – \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ theta} \ ln \ left \ {2 \ sin \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) t \ right \} \, dt \ tag * {} [/ math]

---

Ahora la integral dada puede escribirse así

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ log (\ tan \ theta) \, d \ theta = \ displaystyle \ int \ log (\ sin \ theta) \, d \ theta- \ displaystyle \ int \ log (\ cos \ theta ) \, d \ theta \ tag * {} [/ math]

Ahora definiendo las integrales de Clausen del argumento [matemáticas] 2 \ theta [/ matemáticas] y [matemáticas] \ pi-2 \ theta [/ matemáticas] obtenemos

[math] \ mathrm {Cl} _ {2} (2 \ theta) = – \ displaystyle \ int_ {0} ^ {2 \ theta} \ ln \ left \ {2 \ sin \ left (\ dfrac {1} { 2} \ right) t \ right \} \, dt \ tag * {} [/ math]

[math] \ mathrm {Cl} _ {2} (\ pi-2 \ theta) = – \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ pi-2 \ theta} \ ln \ left \ {2 \ sin \ left ( \ dfrac {1} {2} \ right) t \ right \} \, dt \ tag * {} [/ math]

Ahora si los agregamos obtendremos la integral deseada

[matemáticas] \ boxed {\ displaystyle \ int \ log (\ tan \ theta) \, d \ theta = – \ dfrac {2 \ Lambda (\ theta) + \ mathrm {Cl} _ {2} (\ pi-2 \ theta)} {2}} \ tag * {} [/ math]

donde [math] \ Lambda (\ theta) [/ math] es la función de Lobachevsky.

Answer 5

Vea la función de Spence – Wikipedia (Dilogarithm) para saber más sobre esta integral especial.

Gracias

Answer 6

La solución a este problema involucra funciones especiales.

Al resolver este problema de integración con un CAS como Mathematica, se puede escribir el código:

FullSimplify [Integrar [Log [Tan [x]], x]]

El resultado o solución obtenida es:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ ln (\ tan (x)) \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = – \ frac {1} {2} i \ text {Li} _2 (-i \ tan (x)) + \ frac {1} {2} i \ text {Li} _2 (i \ tan (x)) + \ tan ^ {- 1} (\ tan (x)) \ ln (\ tan (x)) + c [/ math]

[matemáticas] i [/ matemáticas] es la unidad de números imaginarios.

[math] \ text {Li} _2 (z) [/ math] es la función de pollogaritmo generalmente definida como:

[matemáticas] \ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {z ^ {k} \ over k ^ {s}} = z + {z ^ {2} \ over 2 ^ {s}} + {z ^ {3} \ over 3 ^ {s}} + \ cdots [/ math]

En este caso [math] s = 2 [/ math], tenemos el dilogaritmo

[matemáticas] \ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {z ^ {k} \ over k ^ {2}} [/ math]

A continuación se muestra una gráfica de la parte real (en azul) y de la parte imaginaria (en naranja) de la solución a la integral dada (hecha con Mathematica):

Una solución general relacionada es el resultado de integrar [math] \ ln (\ tan (nx)) [/ math] (verificado con Mathematica):

[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ int \ ln (\ tan (nx)) \, dx & = \ frac {i} {2 n} (- \ text {Li} _2 (-i \ tan (nx )) + \ text {Li} _2 (i \ tan (nx)) \\ & + \ ln (\ tan (nx)) (\ ln (1-i \ tan (nx)) \\ & – \ ln ( 1 + i \ tan (nx)))) + constante \ end {align} [/ math]

Consulte también los siguientes enlaces relevantes:

Polylogarithm – de Wolfram MathWorld

Dilogaritmo – de Wolfram MathWorld

Poliglogaritmo – Wikipedia

Answer 7

ArcTan [Tan [x]] Registro [Tan [x]] – 1/2 I PolyLog [2, -I Tan [x]] +

1/2 I PolyLog [2, I Tan [x]]