¿Cómo podemos saber si la suma de una serie infinita convergente es algebraica o trascendental?

Answer 1

A menos que ocurra algo realmente agradable y especial, no puedes.

Para decirlo con un poco más de precisión, no existe un algoritmo que acepte una serie convergente (voy a suponer que los términos de la serie están codificados como un programa que devuelve el término [math] n [/ math] dado el input [math] n [/ math]) y salida “TRUE” si y solo si el límite es algebraico.

Para probar esto, supondremos que existe dicho algoritmo y mostraremos que puede usarse para resolver el problema de detención.

Para un programa dado, definimos la siguiente función

[matemáticas] \ displaystyle f (n) = \ begin {cases} 0 & \ text {si el programa se detiene después de} n \ text {pasos} \\ 1 & \ text {de lo contrario} \ end {cases} [/ math] ,

y úsalo para definir las series convergentes

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ \ infty f (n) 10 ^ {- n!} [/ matemáticas].

Se puede demostrar que si [math] f (n) = 1 [/ math] para todos [math] n [/ math], entonces el límite de esta serie es trascendental. De lo contrario, [math] f (n) = 0 [/ math] para [math] n [/ math] suficientemente grande, por lo que el límite es racional y, por lo tanto, algebraico.

Por lo tanto, hemos producido una serie cuyo límite es algebraico si y solo si nuestro programa elegido arbitrariamente se detiene. Ergo, nuestro algoritmo puede usarse para resolver el problema de detención; esto no es posible y, por lo tanto, dicho algoritmo no puede existir.

Lo que esto significa es que no puede existir ningún medio sistemático para determinar si el límite de una serie convergente es trascendental. Probablemente lo mejor que puede esperar es que, debido a algunas identidades especiales, es posible que pueda expresar explícitamente el límite en términos de valores que se sabe que son algebraicos o trascendentales. Sin embargo, esto casi nunca sucede.