¿Cómo se resuelve la integral [math] \ displaystyle \ int (\ ln (x ^ {6})) ^ {2} dx [/ math]?

Answer 1

A2A

[matemáticas] \ begin {align} \ int (\ ln (x ^ 6)) ^ 2 dx & = \ int (6 \ ln (x)) ^ 2 dx \\ & = \ int 36 (\ ln (x) ) ^ 2 dx \\ & = 36 \ int (\ ln x) ^ 2 dx \ end {align} [/ math]

Dejar

[matemáticas] u = (\ ln (x)) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {du} {dx} = 2 \ frac {\ ln x} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] du = 2 \ frac {\ ln x} {x} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] v = x [/ matemáticas]

[matemáticas] dv = dx [/ matemáticas]

Y deje que [matemáticas] C [/ matemáticas] denote una constante

[matemáticas] \ begin {align} \ int (\ ln x) ^ 2 dx & = \ int u dv \\ & = uv- \ int {v du} + C \\ & = x (\ ln (x)) ^ 2 – \ int 2x \ frac {\ ln x} {x} dx + C \\ & = x (\ ln (x)) ^ 2 – 2 \ int \ ln (x) dx + C \ end {align} [/matemáticas]

Dejar

[matemáticas] t = \ ln (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dt} {dx} = \ frac {1} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] dt = \ frac {1} {x} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ begin {align} \ int \ ln (x) dx & = \ int t dv \\ & = tv- \ int v dt \\ & = x \ ln (x) – \ int x \ frac {1 } {x} dx \\ & = x \ ln (x) – \ int dx \\ & = x \ ln (x) – x + C \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ int (\ ln x) ^ 2 dx = x (\ ln (x)) ^ 2 – 2 (x \ ln (x) – x) + C = x \ ln (x) (\ ln (x ) -2) + 2x + C [/ matemáticas]

Y finalmente

[matemáticas] \ int (\ ln (x ^ 6)) ^ 2 dx = 36 (x \ ln (x) (\ ln (x) -2) + 2x) + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int (\ ln (x ^ 6)) ^ 2 dx = 36x (\ ln (x)) ^ 2 -72x \ ln (x) + 72 + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int (\ ln (x ^ 6)) ^ 2 dx = 36x (\ ln (x) (\ ln (x) -2) + 2) + C [/ matemáticas]

Answer 2

* A2A

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ displaystyle \ int (\ ln x ^ 6) ^ 2 \, \ mathrm {dx} & = \ int (6 \ ln x) ^ 2 \, \ mathrm { dx} \\ & = 36 \ int (\ ln x) ^ 2 \, \ mathrm {dx} \\\ hline \ text {Let} u = (\ ln x) ^ 2 & \ implica \ mathrm {du} = 2 \ ln x \ cdot \ dfrac {1} {x} \ mathrm {dx} \\\ mathrm {dv} = \ mathrm {dx} & \ implica v = x \\\ hline \\ & = 36 \ left [x (\ ln x) ^ 2- \ int 2 \ ln x \, \ mathrm {dx} \ right] \\ & = 36x (\ ln x) ^ 2-72 \ int \ ln x \, \ mathrm {dx} \\ & = 36x (\ ln x) ^ 2-72 (x \ ln xx) + C \\ & = \ boxed {36x \ left [(\ ln x) ^ 2-2 \ ln x + 2 \ right] + C} \ end {split} \ end {ecuación} \ tag * {} [/ math]

Answer 3

Primero, [matemáticas] (\ ln {x ^ 6}) ^ 2 = (6 \ ln {x}) ^ 2 = 36 \ ln ^ 2 {x} [/ matemáticas]. Hasta aquí todo bien.

Para integrar esto, establezca x = e ^ y para que y = \ ln {x}. Entonces [math] dx = e ^ y dy [/ math], y la integral

[matemáticas] = \ int {36y ^ 2e ^ ydy} [/ matemáticas]

Aplique la integración por partes con [math] y ^ 2 [/ math] como la primera función y [math] e ^ y [/ math] como la segunda, y el proceso debe continuar. Substituto [math] y = \ ln {x} [/ math] después de llevar a cabo la integración

Answer 4

Oye, recuerda que puedes reescribir [matemáticas] ln (x ^ 6) [/ matemáticas] como [matemáticas] 6ln (x). [/ math] Entonces [math] (6ln (x)) ^ 2 = 36ln ^ 2x [/ math]. Integrar por partes después. Use 1 como su [math] dv [/ math] y [math] ln ^ 2 (x) [/ math] como su u.

Editar:

[matemáticas] ln (x ^ y) = yln (x) [/ matemáticas] Esta es una de las reglas más básicas de los logaritmos. Además, [math] (ln (x)) ^ 2 [/ math] puede reescribirse como [math] ln ^ 2 (x) [/ math], al igual que con las funciones trigonométricas.

Answer 5

ingrese su fórmula ln (x ^ 6) ^ 2 en http://www.mathHandbook.com , haga clic en el botón integrar para obtener una solución.

manual de referencia de matemáticas

http://www.mathHandbook.com

Answer 6

Hay una regla para los logaritmos que establece lo siguiente:

[matemáticas] log (f (x) ^ n) = n * log (f (x)) [/ matemáticas]

Aplicando esta regla, podemos obtener la siguiente integral

[matemática] integral ((6 * ln (x)) ^ 2 dx) [/ matemática]

Simplificando aún más …

[matemática] integral (36 * ln (x) ^ 2 dx) [/ matemática]

Simplemente integre por partes después.

Answer 7

Tu sospecha era correcta. Reescribe el integrando como 36ln ^ 2 (x), luego factoriza el 36 e integra ln ^ 2 (x) por partes de la misma manera que integraría ln (x). Haga ln ^ 2 (x) = u y 1 = v ‘.

La respuesta es x (ln ^ 2 (x ^ 6) – 12ln (x ^ 6) + 72) + c

Espero que esto ayude.

Answer 8

① DEJAR

integral dada = I ‘

= ∫ (㏑x ^ 6) ²dx

= ∫ (6㏑x) ²dx

= 36∫ (㏑x) ²dx

= 36I

② yo

= ∫ (1) (㏑x) ²dx

= xL²-2∫ (x) (㏑x / x) dx

= xL²-2∫Ldx

= xL²-2 (xL-x} + c

③∴I ‘= 36x {(㏑x) ²-2㏑x + 2} + C