Si [matemática] a ^ 3 = b ^ 3 [/ matemática], ¿[matemática] a = b [/ matemática]?

Teorema fundamental del álgebra : un polinomio de orden [matemático] n ^ {\ text {th}} [/ matemático] con coeficientes complejos tiene exactamente raíces complejas [matemáticas] n [/ matemáticas] .


Si decimos, deseamos resolver la ecuación [matemáticas] a ^ 3 = b ^ 3 [/ matemáticas] para [matemáticas] a [/ matemáticas], luego moviendo todo hacia el lado derecho, tenemos

[matemáticas] a ^ 3-b ^ 3 = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Usando la fórmula de diferencia de cubos da …

[matemáticas] (ab) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Entonces, tampoco

[math] ab = 0 \ implica a = \ boxed {b} \ tag * {} [/ math]

O,

[matemáticas] a ^ 2 + ab + b ^ 2 = 0 \\ a = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4 \ cdot 1 \ cdot b ^ 2}} {2} \\ a = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {-3b ^ 2}} {2} \\ a = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt 3bi} {2} \\ a = \ boxed {\ left (- \ dfrac12 \ pm \ dfrac {\ sqrt3i} {2} \ right) b} \\ a = b \ omega, b \ omega ^ 2 \ tag * {} [/ math]

usando las propiedades de la raíz cúbica de la unidad.


Ahí vamos, [math] 3 [/ math] soluciones para un polinomio de orden [math] 3 ^ {\ text {rd}} [/ math].

Bueno, depende de qué sistema numérico estés usando. Si se limita a los números reales, entonces sí, su afirmación es verdadera.

Sin embargo, en un espacio complejo, se complica. Puede verificar usted mismo que e ^ ( i * 2 π / 3) en cubos es igual a 1, porque e ^ ( i * 2 π ) = 1 por la identidad de Euler, y 1 en cubos también es igual a 1. e ^ ( i * 2 π / 3) ^ 3 = 1 ^ 3, pero los dos valores no son iguales. De hecho, e ^ (i * 2pi / 3) se puede escribir en forma a + b i como -1/2 + sqrt (3) / 2 * i . Puedes pensarlo geométricamente. Cuando multiplica números complejos, está sumando los ángulos que forman con el eje real positivo y multiplicando sus magnitudes. El número complejo que proporcioné tiene una magnitud de 1, por lo que simplemente agrega su ángulo a sí mismo 3 veces (ya que lo está cubicando) y obtiene 2π / 3 * 3 = 2π. 1 forma un ángulo de 0, 2π, 4π, etc. con el eje real positivo, por lo que es equivalente al cubo del número complejo de antes.

En general, con números complejos, si se le da un valor para a en a ^ 3 = b ^ 3, hay infinitos valores para b que satisfarán la ecuación.

También puede haber otros sistemas numéricos más locos, por lo que no termina aquí, pero creo que este es un buen momento para detenerse.

Editar: puede tener como máximo 3 soluciones, ya que las soluciones son cíclicas y comienzan a repetirse.

No, esa es una de las tres soluciones.

Hay tres raíces cúbicas de la unidad, tres soluciones para [matemáticas] w ^ 3 = 1. [/ matemáticas] Son [matemáticas] w = e ^ {2 \ pi ki / 3} [/ matemáticas] para entero [matemáticas ] k. [/ matemática] Cualquiera de los tres [matemática] k, [/ matemática] dice [matemática] 0, [/ matemática] [matemática] -1 [/ matemática] y [matemática] +1 [/ matemática], da tres soluciones únicas: [matemática] w = 1 [/ matemática] o [matemática] w = \ cos (2 \ pi / 3) + i \ sin (2 \ pi / 3) = – \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} i [/ math] o [math] w = \ cos (2 \ pi / 3) – i \ sin (2 \ pi / 3) = – \ dfrac {1 } {2} – \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} i. [/ Math]

Si [matemáticas] w ^ 3 = 1 [/ matemáticas] entonces

[matemáticas] a ^ 3 = b ^ 3 w ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] a = bw [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] a = b, [/ matemáticas] [matemáticas] a = \ frac 1 2 (1 + i \ sqrt {3}) b [/ matemáticas] y [matemáticas] a = \ frac 1 2 (1 – i \ sqrt {3}) b [/ matemáticas]

Hay tres soluciones distintas para [matemáticas] a ^ 3 = b ^ 3. [/ matemáticas]

Exprese b como bexp (2nipi), donde n es un número entero e i = (-1) ^ (1/2). Entonces a = bexp (2nipi / 3). Considere los siguientes casos.

Caso 1: n = 0 => a = b.

Caso 2: n = 1 => a = bexp (2ipi / 3).

Caso 3: n = 2 => a = bexp (4ipi / 3).

Para valores adicionales de n (3, 4, 5, etc.), a pasará por estas tres raíces.

Sí, pero hay otras deducciones.

a³-b³ = 0 →

(ab) (a² + b² + ab) = 0

→ (i) a = b

(ii) a = {- b ± ib√3)} / 2

= ½b (-1 ± i√3)