Teorema fundamental del álgebra : un polinomio de orden [matemático] n ^ {\ text {th}} [/ matemático] con coeficientes complejos tiene exactamente raíces complejas [matemáticas] n [/ matemáticas] .
Si decimos, deseamos resolver la ecuación [matemáticas] a ^ 3 = b ^ 3 [/ matemáticas] para [matemáticas] a [/ matemáticas], luego moviendo todo hacia el lado derecho, tenemos
[matemáticas] a ^ 3-b ^ 3 = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
Usando la fórmula de diferencia de cubos da …
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- ¿La secuencia [math] \ left (\ sin (n! \ Right)) _ n [/ math] converge?
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- Cómo demostrar que [matemáticas] f (x) = \ begin {cases} 0, \; x \ notin \ mathbb {Q} \\ x, \; x \ in \ mathbb {Q} \ end {cases} [/ math] es discontinuo en todas partes excepto en x = 0
[matemáticas] (ab) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
Entonces, tampoco
[math] ab = 0 \ implica a = \ boxed {b} \ tag * {} [/ math]
O,
[matemáticas] a ^ 2 + ab + b ^ 2 = 0 \\ a = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4 \ cdot 1 \ cdot b ^ 2}} {2} \\ a = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {-3b ^ 2}} {2} \\ a = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt 3bi} {2} \\ a = \ boxed {\ left (- \ dfrac12 \ pm \ dfrac {\ sqrt3i} {2} \ right) b} \\ a = b \ omega, b \ omega ^ 2 \ tag * {} [/ math]
usando las propiedades de la raíz cúbica de la unidad.
Ahí vamos, [math] 3 [/ math] soluciones para un polinomio de orden [math] 3 ^ {\ text {rd}} [/ math].