Un número tiene raíces cuadradas, raíces cúbicas y el resto. Se dice que una ecuación tiene raíces; Es otra palabra para sus soluciones. Un polinomio como el de la pregunta tiene ceros .
[matemáticas] x ^ 3 + 64 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 3 = -64 [/ matemáticas]
Estamos tras las raíces cúbicas de [math] -64 [/ math]. Hay algunas formas diferentes de obtenerlo.
- ¿Cómo decimos que la diferenciación de seno x es coseno x?
- Si el vértice de y = x ^ 2-ax + b tiene coordenadas (2, -5), ¿cuál es la intersección con el eje y de esta gráfica en el plano xy?
- ¿Cuál es la suma de esta serie infinita? [matemáticas] \ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ cos \ left (\ ln \ left (n \ right) \ right)} {n ^ a} [/ math]
- ¿Cuál es el conjunto de potencia de {k, o, v, x}?
- Una partícula se mueve con aceleración a (t) = 30 t + 14. Su posición en el tiempo t = 0 es s (0) = 2, y su velocidad en el tiempo t = 0 es v (0) = 6. ¿Cuál es su posición en el tiempo t = 10?
Primero sabemos que [math] x = -4 [/ math] es uno de ellos, por lo que podemos factorizar:
[matemáticas] x ^ 3 + 64 = (x + 4) (x ^ 2 – 4x + 16) [/ matemáticas]
Podemos usar la fórmula cuadrática de Shakespeare ([matemáticas] 2b [/ matemáticas] o [matemáticas] -2b [/ matemáticas]): [matemáticas] x ^ 2 – 2bx + c [/ matemáticas] tiene ceros [matemáticas] x = b \ pm \ sqrt {b ^ 2-c} [/ math]
[matemáticas] x = 2 \ pm \ sqrt {-12} = 2 \ pm 2 \ sqrt {3} \ i [/ matemáticas]
Es posible que ya conozcamos las raíces cúbicas de [matemáticas] 1 [/ matemáticas], llamémoslas [matemáticas] \ omega. [/ Matemáticas]
[matemáticas] \ omega ^ 3 = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 3 = (-4) ^ 3 \ omega ^ 3 = (-4 \ omega) ^ 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] x = -4 \ omega [/ matemáticas]
Entonces, simplemente multiplicamos una raíz cúbica de [math] -64 [/ math] por todas las raíces cúbicas de [math] 1 [/ math] para obtener todas las raíces cúbicas de [math] -64. [/ Math]
[matemáticas] \ omega = 1, \ omega = \ cos 120 ^ \ circ \ pm i \ sin 120 ^ \ circ = – \ dfrac {1} {2} \ pm i \ dfrac {\ sqrt {3}} {2 }[/matemáticas]
Cuando multiplicamos estos por [matemáticas] -4 [/ matemáticas] obtenemos nuestras raíces cúbicas de [matemáticas] -64. [/ Matemáticas]
Siempre podríamos hacerlo en coordenadas polares, recordando la identidad de Euler [matemáticas] e ^ {i \ pi} = – 1 [/ matemáticas] y la identidad de Euler a la potencia [matemáticas] 2k [/ matemáticas], [matemáticas] e ^ { 2 \ pi ki} = 1 [/ math] para entero [math] k. [/ Math]
[matemáticas] x = (-64) ^ {\ frac 1 3} = (4 ^ 3 e ^ {i \ pi} e ^ {2 \ pi ki}) ^ {\ frac 1 3} = 4 e ^ {i (\ pi / 3 + 2 \ pi k / 3)} [/ matemática] [matemática] = 4 (\ cos (\ pi / 3 + 2 \ pi k / 3) + i \ sin (\ pi / 3 + 2 \ pi k / 3)) [/ matemáticas]
Los tres ángulos son [matemática] \ pi / 3, \ pi [/ matemática] y [matemática] – \ pi / 3 [/ matemática], así que volvemos a donde estábamos.