¿Cuál es la suma de esta serie infinita? [matemáticas] \ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ cos \ left (\ ln \ left (n \ right) \ right)} {n ^ a} [/ math]

La suma [math] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ cos {\ ln {n}}} {n ^ {a}} [/ math] converge para valores complejos [math] a [ / math] con [math] Re (a)> 1 [/ math], por la prueba de comparación, ya que [math] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left | \ frac {\ cos {\ ln {n}}} {n ^ {a}} \ right | 1 [/ math], y puede ser negativo.

Para valores particulares de [math] a [/ math], la suma se puede calcular numéricamente:

[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ cos {\ ln {n}}} {n ^ {2}} \ aprox1.1469 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ cos {\ ln {n}}} {n ^ {3}} \ approx1.1072 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ cos {\ ln {n}}} {n ^ {4}} \ aprox1.0535 [/ matemáticas]

La función [matemáticas] f (x) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ cos {\ ln {n}}} {n ^ {x}} [/ matemáticas] tiene un cero cercano [matemática] x = 1.055 [/ matemática], un extremo cerca de [matemática] x = 2.2 [/ matemática] con [matemática] f (2.2) \ aprox1.1534 [/ matemática] y [matemática] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} f (x) = 1 [/ math]. Los cálculos numéricos indican que [math] \ lim_ {x \ rightarrow 1} f (x) \ approx-0.25 [/ math].

Como [matemáticas] \ cos (x) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} [/ matemáticas], entonces tenemos [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {n ^ i + n ^ {- i}} {2n ^ a} [/ math], que se reduce a [math] \ frac {\ zeta (a + i) + \ zeta (ai)} { 2} [/ matemáticas]. No estoy seguro de si hay una manera de simplificar esto aún más: ninguna de las identidades obvias que involucran la función zeta se aplica.

aunque ya ha sido respondido

[matemáticas] \ large \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ cos (\ log n)} {n ^ {a}} = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {\ nombre del operador {Re} (e ^ {i \ log n})} {n ^ a} = \ nombre del operador {Re} \ left (\ sum_ {n = 1} ^ \ infty n ^ {i – a} \ right) = \ operatorname {Re} (\ zeta (a – i)) [/ math]