¿Cuál es el supremum de f (x, y) con x, y en [0,2] donde f (x, y) = (x ^ 4-y ^ 4-4 (x ^ 3-y ^ 3) +4 (x ^ 2-y ^ 2)) / 4 (x ^ 2-y ^ 2) si x = / = y y f (x, y) = 0 si x = y?

Answer 1

En los comentarios se sugirió utilizar el teorema del valor medio de Cauchy. Pero uno puede trabajar directamente eliminando la discontinuidad.

La función es [matemáticas] f (x, y) = \ frac {(x ^ 4-y ^ 4) – 4 (x ^ 3-y ^ 3) + 4 (x ^ 2-y ^ 2)} {4 (x ^ 2-y ^ 2)} [/ math] cuando [math] x \ ne y [/ math]. Esto se puede reescribir: [matemáticas] f (x, y) = \ frac {(x ^ 3 + x ^ 2y + xy ^ 2 + y ^ 3) – 4 (x ^ 2 + xy + y ^ 2) + 4 (x + y)} {4 (x + y)} [/ math] que, si [math] x = y \ ne 0 [/ math], es [math] \ frac {(x-2) (x- 1)} {2} [/ matemáticas]. Esto no es cero en el rango dado, excepto cuando [matemáticas] x = y = 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] x = y = 2 [/ matemáticas]. Entonces, la función dada es discontinua en la diagonal [matemáticas] x = y [/ matemáticas]. Pero la versión anterior es continua y elimina la discontinuidad. Por lo tanto, podemos trabajar con la nueva función y la diferencia entre un supremum y un máximo desaparece.

Más simplemente, el numerador es [matemáticas] (x + y) ^ 3 – 2xy (x + y) – 4 (x + y) ^ 2 + 4xy + 4 (x + y) [/ matemáticas] y la función se simplifica a [matemáticas] f (x, y) = \ frac {(x + y) ^ 2 – 2xy – 4 (x + y) + 4} {4} + \ frac {xy} {x + y} [/ matemáticas] .

Podemos buscar puntos estacionarios dentro del rango requerido. Si no hay ninguno, o el punto estacionario no corresponde a un máximo, entonces el supremum está en el límite. Entonces busque el límite que reduce el problema al caso de una variable.

Ahora [matemáticas] 4 \ frac {\ partial f} {\ partial x} = 2 (x + y) – 2y – 2xy – 4 + \ frac {y ^ 2} {(x + y) ^ 2} [/ matemática ]

y [matemáticas] 4 \ frac {\ partial f} {\ partial y} = 2 (x + y) – 2x – 2xy – 4 + \ frac {x ^ 2} {(x + y) ^ 2} [/ matemática ]

Si estos son cero, entonces también lo es su diferencia, entonces [matemática] 2 (xy) + \ frac {2 (xy)} {x + y} = 0 [/ matemática] y [matemática] x = y [/ matemática] o [matemáticas] x + y + 1 = 0 [/ matemáticas]. Cuando [matemática] x = y [/ matemática] la derivada parcial con respecto a [matemática] x [/ matemática] es cero si [matemática] 2x – 2x ^ 2 – 4 + 0.25 = 0 [/ matemática], es decir [matemática] ] 8x ^ 2 – 8x + 15 = 0 [/ math] que no tiene raíces reales. Ahora prueba [math] x + y = -1 [/ math]. La derivada parcial con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas] es cero si [matemáticas] 2 + (x + 1) + 2x (x + 1) – 4 + (x + 1) ^ 2 = 0 [/ matemáticas] , es decir, [matemática] 3x ^ 2 + 5x – 2 = 0 = (3x – 1) (x + 2) [/ matemática] por lo que una solución está fuera del rango permitido y la otra es [matemática] 1/3 [/ matemática ] que hace que [math] y [/ math] esté fuera del rango requerido.

Por lo tanto, no hay soluciones dentro del rango requerido y el máximo debe estar en el límite. Entonces ponga [math] x = 0 [/ math] y [math] x = 2 [/ math] y resuelva los problemas de maximización de una variable.

Alternativamente, deje que [math] y = cx [/ math]. Entonces [matemáticas] f (x, cx) = \ frac {(1-c ^ 4) x ^ 2 – 4 (1-c ^ 3) x – 4 (1-c ^ 2)} {4 (1-c ^ 2)} = \ frac {(1 + c ^ 2) x ^ 2 – 4 (1 + c + c ^ 2) x – 4} {4} [/ math] que es cuadrático por lo que tiene un máximo único o mínimo donde [matemáticas] 2 (1 + c ^ 2) x – 4 (1 + c + c ^ 2) = 0 [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] x = 2 (1 + c + c ^ 2) / (1 + c ^ 2) [/ math] y esto es un mínimo. Como este mínimo es mayor que [math] 2 [/ math], necesitamos un pequeño [math] x [/ math] para un máximo. Cuando [math] y = 0 [/ math], [math] f (x, 0) = \ frac {x ^ 2 – 4x + 4)} {4} = \ frac {(x – 2) ^ 2} { 4} [/ math] que tiene un mínimo de [math] 0 [/ math] cuando [math] x = 2 [/ math]. Al poner esto juntos, vemos que el máximo está en [matemáticas] x = y = 0 [/ matemáticas], dando un valor máximo de [matemáticas] 2 [/ matemáticas].

[matemáticas] \ frac {(x ^ 4-y ^ 4) – 4 (x ^ 3-y ^ 3) + 4 (x ^ 2-y ^ 2)} {4 (x ^ 2-y ^ 2)} [/matemáticas]