¿Cuáles son todas las posibles soluciones de [math] \ begin {vmatrix} x ^ 3 + 1 & x-1 \\ x + 1 & x ^ 3-1 \ end {vmatrix} = 0 [/ math]?

Answer 1

Podemos comenzar este problema reduciendo el determinante de la matriz 2 × 2 en una expresión algebraica. El determinante de una matriz 2 × 2 [matemáticas] A [/ matemáticas] viene dado por:

[matemáticas] det A = \ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix} = ad-bc [/ math]

Dado esto, podemos reescribir su determinante de la siguiente manera:

[matemáticas] \ begin {vmatrix} x ^ 3 + 1 & x-1 \\ x + 1 & x ^ 3-1 \ end {vmatrix} = 0 [/ math]

[matemáticas] (x ^ 3 + 1) (x ^ 3-1) – (x + 1) (x-1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 6-1) – (x ^ 2-1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 6-x ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

A partir de aquí, todo lo que tenemos que hacer es encontrar las soluciones de esta ecuación:

[matemáticas] x ^ 2 (x ^ 4-1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 (x ^ 2 + 1) (x ^ 2-1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 (x + i) (xi) (x + 1) (x-1) = 0 [/ matemáticas]

A partir de esto, podemos ver que las soluciones a esta ecuación son:

[matemáticas] x = {0,1, -1, i, -i} [/ matemáticas]

Answer 2

Bueno, el primer paso es descubrir el polinomio para el determinante.

Tenga en cuenta que para un determinante 2 × 2:

El | ab |

El | cd |

El determinante es a * d – b * c.

En este caso, eso significa que tenemos:

(x ^ 3 + 1) * (x ^ 3 – 1) – (x +1) * (x-1) = 0

Después de un poco de simplificación (observando que (x ^ 3 +1) * (x ^ 3 – 1) = x ^ 6 -1, y que (x + 1) * (x-1) = x ^ 2 – 1) :

x ^ 6 -1 – x ^ 2 + 1 = 0

Esto se simplifica a:

x ^ 6 – x ^ 2 = 0

Podemos ver que esto implica:

x ^ 2 * (x ^ 4 – 1) = 0

Entonces, x ^ 2 = 0 (lo que implica que x = 0 es una solución)

o x ^ 4 – 1 = 0

Tenga en cuenta que si x = 1 o x = -1, estas son soluciones. Sin embargo, x = +/- sqrt (-1) también funciona.

En total, las soluciones son:

0, 1, -1, i, -i (donde denoto la raíz cuadrada de -1).