¿Cuál es la derivada de [math] \ displaystyle f (x) = \ sum_ {n = 1} ^ {x} \ frac {1} {n} [/ math]?

Answer 1

Lo que otras respuestas no han mencionado es que la suma dada en la pregunta representa la definición de un número armónico:

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = H_ {x} = 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + \ cdots + {\ frac {1} {x }} = \ sum _ {n = 1} ^ {x} {\ frac {1} {n}} [/ math]

En el caso general, cuando los números armónicos se extienden al plano complejo, se pueden expresar analíticamente como:

[matemáticas] \ displaystyle H_ {x} = \ psi (x + 1) + \ gamma [/ matemáticas]

[math] \ psi (z) [/ math] es la función digamma, o la derivada logarítmica de la función gamma:

[matemáticas] \ displaystyle \ psi (z) = {\ frac {d} {dz}} \ ln {\ big (} \ Gamma (z) {\ big)} = {\ frac {\ Gamma ‘(z)} {\ Gamma (z)}} [/ math]

[matemáticas] \ gamma [/ matemáticas] es la constante de Euler-Mascheroni,

[matemáticas] \ gamma \ aproximadamente 0.5772156649015328606065 [/ matemáticas]

Los números armónicos también satisfacen la siguiente relación:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (H_ {n} – \ ln (n) \ right) = \ gamma [/ math]

Como ejemplo de aplicación, y para responder a las preguntas formuladas en otras respuestas aquí, cuando los números armónicos se extienden a números reales y complejos (o se extienden los valores de la función dada al plano complejo), los siguientes resultados o valores son obtenido (verificado con Mathematica y Wolfram Alpha):

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} f \ left (\ frac {1} {2} \ right) & = H _ {\ frac {1} {2}} \\ & = 2- \ ln (4) \ \ & = \ gamma + \ psi \ left (\ frac {3} {2} \ right) \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {2 k ^ 2 + 5 k + 3} \\ & \ approx 0.613705638880109381165535757083646863848999731 \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} f \ left (\ frac {7} {2} \ right) & = H _ {\ frac {7} {2}} \\ & = \ frac {352} {105} – \ ln (4) \\ & = \ gamma + \ psi \ left (\ frac {9} {2} \ right) \\ & = \ frac {7} {2} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {(k + 1) \ left (k + \ frac {9} {2} \ right)} \\ & \ approx 1.96608659126106176211791670946459924480138068 \ end {align} [/ math]

La derivada de la suma dada se puede escribir como:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d} {dx} (H_x) = \ frac {d} {dx} (\ psi (x + 1) + \ gamma) = \ psi ^ {(1)} (x + 1 )[/matemáticas]

[math] \ psi ^ {(1)} (z) [/ math] es la función de poligamia de orden [math] 1 [/ math], o la primera derivada de la función digamma, o también la función trigamma.

Se pueden usar otras relaciones que involucran números armónicos para encontrar la derivada de la suma dada.

Considerando la siguiente relación entre números armónicos y la función zeta de Riemann:

[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {d ^ {p} H_ {x}} {dx ^ {p}}} = (- 1) ^ {p + 1} p! \ left [\ zeta (p + 1) -H_ {x, p + 1} \ right] [/ math]

luego tomando [math] p = 1 [/ math], obtenemos el siguiente resultado (verificado con Mathematica):

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ frac {d H_ {x}} {dx} = \ zeta (2) -H_ {x, 2} = \ frac {\ pi ^ 2} {6} -H_ {x, 2} = \ psi ^ {(1)} (x + 1)} [/ matemáticas]

donde [math] \ displaystyle H_ {x, 2} = \ sum _ {n = 1} ^ {x} {\ frac {1} {n ^ {2}}} [/ math]

A continuación se muestra una gráfica de [math] \ displaystyle \ psi ^ {(1)} (x + 1) [/ math] (hecho con Mathematica):

Y a continuación hay una trama en 3D de [matemáticas] \ displaystyle \ left | \ psi ^ {(1)} (z + 1) \ right | [/ math] sobre el plano complejo, con [math] z = x + iy [/ math] (hecho con Mathematica):

Answer 2

Yo, yo, yo entramos en Euler y Maclaurin, con su práctica fórmula Euler-Maclaurin – Wikipedia:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {x} \ frac {1} {n} = c _ {\ alpha} + \ int _ {\ alpha} ^ {x + 1} \ frac {dz} {z } – \ frac {1} {2 (x + 1)} + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {B_ {2n}} {(2n)!} D_x ^ {2n-1} \ frac {1} {x + 1} [/ math]

Así,

[matemáticas] \ displaystyle D_x \ sum_ {n = 1} ^ {x} \ frac {1} {n} = \ frac {1} {x + 1} + \ frac {1} {2 (x + 1) ^ 2} + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {B_ {2n}} {(2n)!} D_x ^ {2n} \ frac {1} {x + 1} [/ math]

Puede pensar que la secuencia de sumas parciales de esta serie diverge, y estaría en lo cierto. Pero eso se debe a que estamos tratando de sumar infinitamente muchas cosas de una manera ingenua: no todas las sumas se pueden evaluar tomando el límite de las sumas parciales … ¿Quién te ha dicho ESA tontería? (Solo bromeaba, tampoco bromeaba)

Existen métodos para forzar la convergencia para este tipo de problemas específicamente, puede ver mis dos blogs sobre el tema para ver cómo funciona: (1) Funciones de instrucción diferintegral (DIF) para ecuaciones y sumas de diferencias finitas: la fórmula de Euler-Maclaurin infinita por Connor Frankston en Matemáticas y garabatos, y (2) Euler-Maclaurin / Iteración de diferencia finita y mejoras en la aproximación de Stirling-La extensión de la fórmula infinita Euler-Maclaurin por Connor Frankston en Matemáticas y garabatos. Esta es la única solución fluida, por lo que podríamos llamarla derivada.

Answer 3

Este es un problema similar que uno tiene cuando intenta calcular la derivada de [matemáticas] f (x) = x [/ matemáticas] y escribirla como [matemáticas] f (x) = \ sum_ {n = 1} ^ {x} 1 [/ matemáticas]. El problema aquí es que no está del todo claro qué significa que x sea un número entero. Sin embargo, lo que debería poder reunir es que [matemática] f (x) [/ matemática] (la suma) obviamente depende de x.

Siempre se puede tratar de construir una función para que sea igual a la suma cuando x es un entero positivo. De hecho, esto es lo que se hace cuando definimos la función gamma (que se puede considerar como una extensión de la función factorial. [Math] \ Gamma (x + 1) = x! [/ Math] para todos los enteros positivos x Sin embargo, incluso para los no enteros positivos, la intuición sigue: Es cierto que [matemáticas] x \ Gamma (x) = \ Gamma (x + 1) [/ matemáticas], que es similar a la relación de recursión que define La función factorial.

Si ahora se toma la derivada logarítmica de la función gamma, se obtiene [math] \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ ln \ Gamma (x) = \ frac {\ Gamma (x) \ psi (x)} {\ Gamma (x)} = \ psi (x) [/ math]. Donde [math] \ psi (x) [/ math] es la función Digamma, una función no elemental.

Para valores enteros no negativos de [math] x + 1 [/ math], [math] \ psi (x + 1) = – \ gamma + \ sum_ {n = 1} ^ {x} \ frac {1} { n} [/ matemáticas]. La derivada de la función Digamma es, nuevamente, no elemental. [math] \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ psi (x + 1) = \ psi ^ {(1)} (x + 1) [/ math]. Donde [math] \ psi ^ {(1)} (z) [/ math] es la primera derivada de la función Digamma, que también se conoce como la función Trigamma. Entonces, al definir una función que toma los valores especificados dentro de la sumatoria cuando su argumento es un entero, mientras que también se define para no enteros, nos permite diferenciarlo. La derivada de su función es [math] \ psi ^ {(1)} (x + 1) [/ math].

Answer 4

Los índices de suma son todos enteros, por lo que la función no está definida para valores no enteros. (¿Qué es [math] f (0.5) [/ math]?) Dado que la función solo se define en valores enteros, no es continua y, por lo tanto, no es diferenciable.

Answer 5

¿Quién dijo que había un derivado?

Por ejemplo, ¿qué es [matemáticas] f (\ frac {1} {2}) [/ matemáticas]?

¿Qué tal [matemáticas] f (\ frac {7} {2})? [/ Matemáticas]

¿Cuál es el dominio de [matemáticas] f [/ matemáticas]? Parece que los números naturales.

Si una función se define solo en los números naturales, [matemática] f (x) [/ matemática] no es continua [en ningún intervalo] y no hay derivada.

Answer 6

La derivada de esta función no existe.

La razón de esto es que [math] f (x) [/ math] solo se define mientras [math] x \ in \ N, x> 1 [/ math]. Las funciones definidas solo en números naturales no tienen límites, por lo que tampoco tienen derivadas.

Answer 7

Las anotaciones que está utilizando son muy confusas.

¿Qué es x? Si es un entero, la derivada no existe porque f (x) se define solo para enteros.

Si x es real, se debe usar integral en lugar de sygma. Sería una integral simple de dt / t que es ln (t) entre 1 y x. El resultado es entonces ln (x).

Answer 8

La función no es continua. Por lo tanto no es diferenciable.