Si ABCDEF * E = FABCDEF, ¿cuál es el valor de E y cómo obtuvo la respuesta?

Answer 1

E = 6 (como un dígito)

Suponiendo que AF son dígitos, no números con multiplicación implícita: mira el último dígito. E * F = F mod 10, entonces (E-1) * F es un múltiplo de diez. E = 1 o (E-1) y F son 2 y 5.

Si E = 1, entonces ABCDEF = FABCDEF, lo cual es falso: ningún número de seis dígitos es igual a un número de siete dígitos (supongo que no puede conducir con un cero). Por lo tanto, (E-1) y F son 2 y 5, pero ¿cuál es cuál?

Tenga en cuenta incluso 999935 * 2 <5000035, por lo que no se puede tener E sea 3 y F sea 5. Por lo tanto, E = 6 y F = 2.

Si desea continuar desde allí, EF = 62, E * EF = 372, entonces carry agrega 3 a D, trabaja mod 10 allí [es decir, mod 1000 en general], etc. y ve si puedes derivar los otros dígitos, I supongamos, aunque no he pensado si hay una respuesta única para la siguiente pregunta.

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Por supuesto, si AF son solo números que se multiplican, entonces todo lo que puede decir es que E = F.

Answer 2

La respuesta obvia es [matemáticas] E = 1, F = 0 [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] ABCDE0 \ veces 1 = 0ABCDE0 [/ matemáticas]

Si excluye el caso donde [matemática] F = 0 [/ matemática], entonces [matemática] E \ ne 1 [/ matemática] y solo hay un número limitado de casos donde puede tener [matemática] E \ vecesF = x \ veces 10 + F [/ matemáticas]

Entonces sabemos que

[matemáticas] (E, F) \ in \ {(3,5), (6,2), (6,4), (6,8), (7,5), (9,5) \} [ /matemáticas]

Pero también necesitamos

[matemática] EF \ timesE = y \ times100 + E \ times10 + F [/ math]

[matemáticas] 35 \ veces 3 = 105 [/ matemáticas]

[matemáticas] 62 \ veces 6 = 372 [/ matemáticas]

[matemáticas] 64 \ veces 6 = 384 [/ matemáticas]

[matemáticas] 68 \ veces 6 = 408 [/ matemáticas]

[matemáticas] 75 \ veces 7 = 525 [/ matemáticas]

[matemáticas] 95 \ veces 9 = 855 [/ matemáticas]

La única solución es

[matemáticas] E = 1, F = 0 [/ matemáticas]

Answer 3

Cuando se multiplican dos números, solo el último dígito de cada número contribuye al último dígito del resultado. En este caso, el último dígito ([matemáticas] F [/ matemáticas]) es el mismo que el último dígito de uno de los números que estamos multiplicando, por lo que debemos tener [matemáticas] E \ veces F \ equiv F \ mod { 10} [/ math], entonces [math] (E-1) \ times F \ equiv 0 \ mod {10} [/ math]. Esto significa que (a) [matemática] E-1 = 0 [/ matemática], o (b) [matemática] F = 0 [/ matemática], o (c) [matemática] E-1 = 5 [/ matemática ] y [matemática] F [/ matemática] es par, o (d) [matemática] F = 5 [/ matemática] y [matemática] E-1 [/ matemática] es par.

Del mismo modo, solo los dos últimos dígitos de cada número contribuyen a los dos últimos dígitos del resultado. Entonces [math] EF \ times E \ equiv EF \ mod {100} [/ math].

• a) si [matemática] E-1 = 0 [/ matemática] entonces [matemática] E = 1 [/ matemática] y el número no cambiará por la multiplicación. El único dígito que podríamos agregar al frente sin cambiar el valor es cero, por lo que tendríamos que tener [math] F = 0 [/ math].
• b) si [matemática] F = 0 [/ matemática] entonces la respuesta es idéntica al número inicial, por lo que tendríamos que tener [matemática] E = 1 [/ matemática], y este es el mismo conjunto de soluciones que encontramos en El caso anterior.
• c) si [matemática] E-1 = 5 [/ matemática] ([matemática] E = 6 [/ matemática]) y [matemática] F [/ matemática] es par: podríamos tener [matemática] F = 0 [/ matemática], y de hecho [matemática] EF \ veces E = 360 \ equiv 60 \ mod {100} [/ matemática], pero si [matemática] F = 0 [/ matemática] la respuesta es idéntica al número inicial, entonces tendría que tener [matemáticas] E = 1 [/ matemáticas] en este caso, no [matemáticas] 6 [/ matemáticas]; podríamos tener [matemática] F = 2 [/ matemática] pero luego [matemática] EF \ veces E = 372 \ not \ equiv 62 \ mod {100} [/ matemática]; podríamos tener [matemática] F = 4 [/ matemática] pero luego [matemática] EF \ veces E = 384 \ not \ equiv 64 \ mod {100} [/ matemática]; no podemos tener [matemáticas] F = 6 [/ matemáticas] ya que no podemos usar el mismo dígito dos veces; podríamos tener [math] F = 8 [/ math] pero luego [math] EF \ times E = 408 \ not \ equiv 68 \ mod {100} [/ math]. Entonces esta opción no ofrece soluciones.
• d) si [matemática] F = 5 [/ matemática] y [matemática] E-1 [/ matemática] es par: podríamos tener [matemática] E = 1 [/ matemática] pero [matemática] EF \ veces E = 15 \ not \ equiv 25 \ mod {100} [/ math]; podríamos tener [matemática] E = 3 [/ matemática] pero [matemática] EF \ veces E = 105 \ not \ equiv 35 \ mod {100} [/ matemática]; no podemos tener [matemáticas] E = 5 [/ matemáticas] ya que no podemos usar el mismo dígito dos veces; podríamos tener [matemática] E = 7 [/ matemática] pero [matemática] EF \ veces E = 525 \ not \ equiv 75 \ mod {100} [/ matemática]; podríamos tener [matemática] E = 9 [/ matemática] pero [matemática] EF \ veces E = 475 \ not \ equiv 95 \ mod {100} [/ matemática]. Entonces esta opción tampoco proporciona soluciones.

Por lo tanto, las únicas soluciones tienen [math] \ boxed {E = 1} [/ math]