La tangente a la parábola que menciona es una línea y para encontrar su intercepción [matemática] y [/ matemática] necesitaríamos saber dónde estaba la tangente en la curva. Resolveré el problema de diferentes maneras para usted, y espero que eso sea suficiente para responder a su pregunta planteada de manera muy general.
Una parábola se puede describir matemáticamente de varias maneras. La forma en que se describe dicta el enfoque necesario para responder a su pregunta.
Una forma de describir una parábola es usar una relación cuadrática:
[matemáticas] y = ax ^ {2} + bx + c \ text {donde} a \ text {,} b \ text {y} c \ text {son constantes} \ tag {1} [/ math]
- Si [matemáticas] a + b = \ frac {a} {b} + \ frac {b} {a}; a, b \ in \ mathbb {N} [/ math], entonces, ¿cuál es el valor de [math] a ^ 2 + b ^ 2 [/ math]?
- ¿Qué universidad debería elegir, Shankra 1 o Rungta 1?
- Cómo resolver [math] \ int \ sqrt {1 + x ^ 4} dx [/ math]
- Cuando la serie [matemáticas] 1 ^ {10} + 2 ^ {10} + 3 ^ {10} + 4 ^ {10} + 5 ^ {10} + 6 ^ {10} + 7 ^ {10} + 8 ^ {10} + 9 ^ {10} [/ math] se divide por [math] 10 [/ math], ¿cuál es el resto?
- ¿Cuál es el valor de ‘0!’ ¿Alguien puede probarlo?
Ahora diferenciar (1)
[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = 2ax + b \ tag {2} [/ matemáticas]
Es importante darse cuenta de que, tal como está, la derivada dada por (2) no es el gradiente de la tangente, es más bien una fórmula que le proporciona el gradiente de la tangente en un punto numérico dado. Este punto no se proporciona en la pregunta, pero podemos proceder algebraicamente. Deje que la tangente en la parábola pase por el punto para el cual [matemática] x = p [/ matemática], donde [matemática] p [/ matemática] es un valor numérico dado.
De (2) el gradiente de la tangente en [math] x = p [/ math] viene dado por
[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = 2ap + b \ tag {3} [/ matemáticas]
Como probablemente ya sabe, una línea que pasa por un punto [matemática] (x_ {1}, y_ {1}) [/ matemática] y con gradiente [matemática] m [/ matemática] viene dada por la fórmula
[matemática] y-y_ {1} = m (x-x_ {1}) \ tag {4} [/ matemática]
La ecuación (3) da [math] m [/ math] en (4) y [math] x_ {1} = p [/ math], el valor [math] y_ {1} [/ math] viene dado por sustitución en (1) y obtenemos [math] y_ {1} = ap ^ {2} + bp + c. [/ math] Por lo tanto, la tangente viene dada por
[matemáticas] y- (ap ^ {2} + bp + c) = (2ap + b) (xp) \ tag {5} [/ matemáticas]
Poner en orden (5) tenemos
[matemáticas] y = (2ap + b) x-ap ^ {2} + c \ tag {6} [/ matemáticas]
La intercepción [math] y [/ math] ahora se da dejando [math] x = 0 [/ math] en (6)
[matemáticas] \ text {intersección en y}} -ap ^ {2} + c = c-ap ^ {2} \ tag {7} [/ matemáticas]
Como puede ver, esto es diferente a la solución ya proporcionada. Esto se debe a que esta solución usa la derivada correctamente. Esta es la respuesta correcta para una parábola dada por (1).
Como mencioné anteriormente, hay diferentes maneras de representar una parábola matemáticamente. Otra forma es usar secciones cónicas, y si lo hacemos, la ecuación viene dada por
[matemáticas] y ^ {2} = 4ax \ text {donde} a \ text {es una constante} \ tag {8} [/ math]
Para diferenciar (8) es necesario que conozca la diferenciación implícita o la diferenciación paramétrica. Avíseme si lo hace y le proporcionaré soluciones alternativas.