Cómo encontrar la intersección y de una línea lineal que es tangente a una parábola

La tangente a la parábola que menciona es una línea y para encontrar su intercepción [matemática] y [/ matemática] necesitaríamos saber dónde estaba la tangente en la curva. Resolveré el problema de diferentes maneras para usted, y espero que eso sea suficiente para responder a su pregunta planteada de manera muy general.

Una parábola se puede describir matemáticamente de varias maneras. La forma en que se describe dicta el enfoque necesario para responder a su pregunta.

Una forma de describir una parábola es usar una relación cuadrática:

[matemáticas] y = ax ^ {2} + bx + c \ text {donde} a \ text {,} b \ text {y} c \ text {son constantes} \ tag {1} [/ math]

Ahora diferenciar (1)

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = 2ax + b \ tag {2} [/ matemáticas]

Es importante darse cuenta de que, tal como está, la derivada dada por (2) no es el gradiente de la tangente, es más bien una fórmula que le proporciona el gradiente de la tangente en un punto numérico dado. Este punto no se proporciona en la pregunta, pero podemos proceder algebraicamente. Deje que la tangente en la parábola pase por el punto para el cual [matemática] x = p [/ matemática], donde [matemática] p [/ matemática] es un valor numérico dado.

De (2) el gradiente de la tangente en [math] x = p [/ math] viene dado por

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = 2ap + b \ tag {3} [/ matemáticas]

Como probablemente ya sabe, una línea que pasa por un punto [matemática] (x_ {1}, y_ {1}) [/ matemática] y con gradiente [matemática] m [/ matemática] viene dada por la fórmula

[matemática] y-y_ {1} = m (x-x_ {1}) \ tag {4} [/ matemática]

La ecuación (3) da [math] m [/ math] en (4) y [math] x_ {1} = p [/ math], el valor [math] y_ {1} [/ math] viene dado por sustitución en (1) y obtenemos [math] y_ {1} = ap ^ {2} + bp + c. [/ math] Por lo tanto, la tangente viene dada por

[matemáticas] y- (ap ^ {2} + bp + c) = (2ap + b) (xp) \ tag {5} [/ matemáticas]

Poner en orden (5) tenemos

[matemáticas] y = (2ap + b) x-ap ^ {2} + c \ tag {6} [/ matemáticas]

La intercepción [math] y [/ math] ahora se da dejando [math] x = 0 [/ math] en (6)

[matemáticas] \ text {intersección en y}} -ap ^ {2} + c = c-ap ^ {2} \ tag {7} [/ matemáticas]

Como puede ver, esto es diferente a la solución ya proporcionada. Esto se debe a que esta solución usa la derivada correctamente. Esta es la respuesta correcta para una parábola dada por (1).

Como mencioné anteriormente, hay diferentes maneras de representar una parábola matemáticamente. Otra forma es usar secciones cónicas, y si lo hacemos, la ecuación viene dada por

[matemáticas] y ^ {2} = 4ax \ text {donde} a \ text {es una constante} \ tag {8} [/ math]

Para diferenciar (8) es necesario que conozca la diferenciación implícita o la diferenciación paramétrica. Avíseme si lo hace y le proporcionaré soluciones alternativas.

Digamos que tenemos una parábola en la forma [math] f (x) = ax ^ 2 + bx + c [/ math]. Un punto en esta parábola será [matemática] P (x, ax ^ 2 + bx + c) [/ matemática]. El gradiente de la tangente a este punto es la primera derivada de la parábola, por lo tanto es:

[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ frac {df (x)} {dx} & [ax ^ 2 + bx + c] \\ & = 2ax + b \ end {align} \ tag * {} [/ matemáticas]

Ahora podemos conectar esto a la ecuación punto-pendiente [matemática] y-y_1 = m (x-x_1) [/ matemática]:

[matemáticas] \ begin {align} y- (ax ^ 2 + bx + c) & = (2ax + b) (xx) \\ y- (ax ^ 2 + bx + c) & = 0 \\ y & = ( ax ^ 2 + bx + c) \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Por lo tanto, debido a que [math] x = 0 [/ math] en el eje y , la intersección en y está en [math] (0, c) [/ math].

Para la línea [matemáticas] f (x) = A * x [/ matemáticas]

y la parábola [matemáticas] g (x) = B * x ^ 2 – 1 [/ matemáticas]

Encuentra la pendiente de la línea en términos de x y la pendiente de la parábola en términos de x tomando sus derivadas f ‘(x) y g’ (x) y poniéndolas iguales entre sí. Aquí es donde sus pendientes son iguales, como deben ser para que sean paralelas. Resolver para x le dará los puntos donde tienen pendientes iguales, y estos puntos serán los puntos de intersección si se cruzan en una tangente.

Por lo anterior línea y parábola, la pendiente de la línea es:

[matemática] f ‘(x) = d / d [/ matemática] [matemática] x (A * x) [/ matemática]

f ‘( x ) = A.

La pendiente de la parábola es:

[matemáticas] g ‘(x) = d / dx (B * x ^ 2 – 1) [/ matemáticas]

g ‘(x) = 2 * B * x

[matemática] Se deduce que en el punto de intersección donde las pendientes son paralelas ocurre en: [/ matemática]

[matemáticas] A = 2 * B * x [/ matemáticas]

A / 2 * B = 2 * B * x / 2 * B

A / 2 * B = x

x = A / 2 * B es la coordenada x.

[matemáticas] y = A * x [/ matemáticas]

[matemáticas] y = A * A / 2 * B [/ matemáticas]

[matemáticas] y = A ^ 2/2 * B [/ matemáticas] es la coordenada y.

El punto de intersección es [matemática] P (A / 2 * B, A ^ 2/2 * B) [/ matemática]