Cuando la serie [matemáticas] 1 ^ {10} + 2 ^ {10} + 3 ^ {10} + 4 ^ {10} + 5 ^ {10} + 6 ^ {10} + 7 ^ {10} + 8 ^ {10} + 9 ^ {10} [/ math] se divide por [math] 10 [/ math], ¿cuál es el resto?

Answer 1

Esta es completamente una pregunta de teoría de números, relacionada con el tema de la aritmética modular.

Un resto es lo que queda después de la división, por lo que en caso de dividir por 10, el resto es el último dígito.

En términos generales, puede calcular que multiplicar un número por sí mismo una y otra vez hará que el resto se repita en 4, por ejemplo, 2.

[matemáticas] 2 ^ 1 = 2, 2 ^ 2 = 4, 2 ^ 3 = 8, 2 ^ 4 = 16, 2 ^ 5 = 32, [/ matemáticas], etc.

Esto significa los patrones para los últimos ciclos de dígitos 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, …

Y este es el caso para el último dígito de todos los números. Algunos números se alternan en 2 o en 1, sin embargo, si se alternan en 1 o 2, todos se alternan en 4.

Esto significa que puede reducir la serie anterior a [matemáticas] 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 4 ^ 2 + 5 ^ 2 + 6 ^ 2 + 7 ^ 2 + 8 ^ 2 + 9 ^ 2 + 10 ^ 2 [/ matemáticas].

Estoy bastante seguro de que puede usar residuos cuadráticos para resolver esta parte, pero no estoy muy familiarizado con eso. Sin embargo, esto es fácil de calcular a mano y uno puede notar que los últimos dígitos de la segunda serie son [matemática] 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 [/ matemática]. Esto suma 25, que dividido por 10, deja un resto de 5 .

Espero que haya ayudado.

Answer 2

Por el teorema de Fermat [matemáticas] “[/ matemáticas] poco [matemáticas]” [/ matemáticas], [matemáticas] n ^ 5 \ equiv n \ bmod {5} [/ matemáticas] para cada [matemáticas] n \ in \ mathbb Z [/ math]. Por lo tanto, [math] n ^ {10} \ equiv n ^ 2 \ bmod {5} [/ math] para [math] n \ in \ {1,2,3, \ ldots, 9 \} [/ math]. Por lo tanto

[matemáticas] N = \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ 9 n ^ {10} \ equiv \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ 9 n ^ 2 \ bmod {5} [/ math]

[matemáticas] \ equiv 2 (1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 4 ^ 2) \ bmod {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ equiv 0 \ bmod {5} [/ matemáticas].

Como hay un número impar de números entre [matemática] 1 ^ {10} [/ matemática], [matemática] 2 ^ {10} [/ matemática], [matemática] 3 ^ {10} [/ matemática], [matemática ] \ ldots [/ math], [math] 9 ^ {10} [/ math], [math] N [/ math] es impar . Por lo tanto, [math] n \ equiv 5 \ bmod {10} [/ math].

El resto es [matemáticas] 5 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 3

Utilicé el enfoque de suma de Jakob Bernoulli.

La división por 10 produce un resto de 5.

Answer 4

Del pequeño teorema de Fermat,

[matemáticas] k ^ 5 \ equiv k \ pmod {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] k ^ {10} \ equiv k ^ 2 \ pmod {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] k ^ {2} \ equiv k \ pmod {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] k ^ {10} \ equiv k ^ 2 \ pmod {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] k ^ {10} \ equiv k ^ 2 \ pmod {10} [/ matemáticas]

Entonces, al final solo necesitamos sumar los cuadrados módulo diez.

[matemáticas] 2 (1 + 4 + 9 + 6) + 5 \ equiv 5 \ pmod {10} [/ matemáticas]

Answer 5

1 ^ 10 + 2 ^ 10 = 1025 = 1020 + 5≡5

3 ^ 10 = (3 ^ 5) ² = 243² = (240 + 3) ²≡9

4 ^ 10 = (2²) ^ 10 = (2 ^ 10) ² = (1020 + 4) ²≡16≡6

5 ^ 10 = (5²) ^ 5 = 25 ^ 5 = (20 + 5) ^ 5≡5 ^ 5≡5 * 625≡3125≡5

6 ^ 10 = (10–4) ^ 10 = 4 ^ 10≡6

7 ^ 10 = 49 ^ 5 = (50–1) ^ 5≡-1

8 ^ 10 = (10–2) ^ 10≡2 ^ 10≡4

9 ^ 10 = (10–1) ^ 10≡1

REM≡1 + 4-1 + 5 + 6 + 6 + 9 + 5 netos = 35≡5mod10