Si [matemática] x [/ matemática] no es divisible por [matemática] 5 [/ matemática], ¿por qué es que [matemática] x ^ {2} + 1 [/ matemática] o [matemática] x ^ {2 } – 1 [/ math] es divisible por [math] 5 [/ math]?

Answer 1

Bien, entonces sea x un número que no es divisible por 5, por lo que tendrá la forma [matemática] 5m + y [/ matemática] donde y puede tomar valores de [matemática] 1–4 [/ matemática]. cuadrando [matemática] x = 5m + y [/ matemática], obtenemos [matemática] x ^ 2 = (5m + y) ^ 2 = 25m ^ 2 + 10 * m * y + y ^ 2 [/ matemática].

En esto, los primeros dos términos son obviamente divisibles por 5 y tenemos el último término que es [matemática] 1, 4, 9 o 16 [/ matemática]. puede ver claramente si restamos 1 de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] cuando y es 1 o 4, el número resultante se convierte en un múltiplo de 5. De manera similar, si sumamos 1 a [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] cuando y = 2 o 3 el número se convierte en un múltiplo de 5. Esta es la razón por la cual [matemática] x ^ 2 +1 [/ matemática] o [matemática] x ^ 2 -1 [/ matemática] es divisible por 5 incluso si x no es

Answer 2

Si un número [matemático] x [/ matemático] no es divisible por 5, eso significa que debe terminar en 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 o 9.

Ahora, si elevamos al cuadrado este número que no es divisible por 5 (la parte [matemática] x ^ 2 [/ matemática] en [matemática] x ^ 2 \ pm 1 [/ matemática]), el dígito en el lugar de las unidades será un 1, 4, 6 o 9. Todos estos números cuadrados tendrán estos dígitos en el lugar de las unidades son [math] \ pm 1 [/ math] de terminar con un 0 o un 5. Y cualquier cosa que termine en un 0 o 5 debe ser divisible por 5.

Answer 3

Si [matemática] x [/ matemática] no es divisible por [matemática] 5 [/ matemática] entonces [matemática] x \ equiv 1 [/ matemática], [matemática] 2 [/ matemática], [matemática] 3 [/ matemática] o [matemática] 4 \ mod 5 [/ matemática].

• if [math] x \ equiv 1 [/ math] then [math] x ^ 2 \ equiv 1 [/ math] so [math] x ^ 2 – 1 \ equiv 0 \ mod 5 [/ math].
• si [matemática] x \ equiv 2 [/ matemática] entonces [matemática] x ^ 2 \ equiv 4 [/ matemática] entonces [matemática] x ^ 2 + 1 \ equiv 0 \ mod 5 [/ matemática].
• si [matemática] x \ equiv 3 [/ matemática] entonces [matemática] x ^ 2 \ equiv 4 [/ matemática] entonces [matemática] x ^ 2 + 1 \ equiv 0 \ mod 5 [/ matemática].
• if [math] x \ equiv 4 [/ math] then [math] x ^ 2 \ equiv 1 [/ math] so [math] x ^ 2 – 1 \ equiv 0 \ mod 5 [/ math].

Por lo tanto, en cada caso, [matemática] x ^ 2 + 1 [/ matemática] o [matemática] x ^ 2 – 1 [/ matemática] es divisible por [matemática] 5 [/ matemática].

Answer 4

Creo que esto también se puede probar por inducción:

Para [matemáticas] x [/ matemáticas] [matemáticas] = 1,2,3,4 [/ matemáticas] es cierto.

Ahora tenemos que demostrar que si para una [matemática] x = k [/ matemática] ya sea [matemática] x ^ 2 +1 [/ matemática] o [matemática] x ^ 2 -1 [/ matemática] es divisible por [matemática] ] 5 [/ matemática] entonces es para [matemática] x = k + 5 [/ matemática]

Ahora supongamos que [math] k ^ 2 + a [/ math] es divisible por [math] 5 [/ math] para algunos [math] a \ in \ {1, -1 \} [/ math]

[matemática] (k + 5) ^ 2 + a = k ^ 2 + a + 5 (2k + 5) [/ matemática] que también es divisible por [matemática] 5 [/ matemática] para la misma [matemática] a [ / matemática] como en la hipótesis de inducción.

Answer 5

* A2A

Estoy como [matemáticas] 3 [/ matemáticas] minutos tarde, otros ya han proporcionado la respuesta mientras escribía. Aquí va….

[matemáticas] \ begin {align} x & \ equiv \ begin {cases} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \ end {cases} \ mod5 \\ x ^ 2 & \ equiv \ begin {cases} 1 \\ 4 \ \\ end {cases} \ mod5 \\\ hline x ^ 2 + 1 & \ equiv \ begin {cases} 2 \\\ boxed 0 \ end {cases} \ mod5 \\\ hline x ^ 2-1 & \ equiv \ begin {cases} \ boxed 0 \\ 3 \ end {cases} \ mod5 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

¿Ves por qué [matemáticas] 5 \ mid (x ^ 2–1) [/ matemáticas] o [matemáticas] 5 \ mid (x ^ 2 + 1) [/ matemáticas]? Mira las cajas que marqué.

Answer 6

Un número es divisible por 5 si, y solo si, termina en 0 o 5. Si X no es divisible por 5, entonces debe terminar en 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 o 9. Cuando cuadramos X, por lo tanto, el cuadrado terminará en 1, 4, 9, 6, 6, 9, 4 o 9, respectivamente. Podemos sumar o restar 1 de cualquiera de estos números finales para obtener un 0 o 5, y por lo tanto, X al cuadrado +/- 1 será divisible por 5.