¿Qué es x si [matemáticas] x ^ x = 1/2 [/ matemáticas]?

Answer 1

Esto no tiene solución para ningún valor real positivo de x. El valor mínimo de x ^ x, para cualquier valor real positivo de x, es de alrededor de 0.6922, para x = 1 / e. Para verificar que este es el valor mínimo de x ^ x, tome el registro de cada lado, obteniendo

x lnx = ln (1/2) = -.6931

Ahora, considere que x lnx es 0 para x = 1 y que el valor límite de x lnx es 0 cuando x se acerca a 0. Entonces, en algún lugar entre x = 0 y x = 1, la función x lnx tiene un valor mínimo. ¿Cuál es ese valor mínimo? Podemos encontrarlo tomando la derivada de x lnx y ajustándola a cero. es decir, resolver

1 + lnx = 0.

La solución a esto es claramente x = 1 / e.

Evaluando, encontramos que

(1 / e) ln (1 / e) = -.3679, que, por supuesto, es mayor que ln (1/2) = -.6931. Entonces, no importa qué valor elijamos para x, la función nunca puede ser tan baja como ln (1/2), lo que significa que nuestra función original nunca puede ser tan baja como 1/2.

Answer 2

No hay solución para su problema porque, dado que ningún número alimentado a sí mismo puede dar un valor de 1/2, esto se debe a que si minimiza la función x ^ x obtendrá un valor mínimo de (1 / e) ^ (1 / e) = 0.692200627> 0.5

Bueno

y = x ^ x

dy / dx = x ^ x (1 + ln x)

para dy / dx = 0 existe un punto crítico donde el valor puede ser máximo o mínimo aquí, el máximo de x ^ x es infinito, por lo que el valor que obtenemos es mínimo

ln x = -1

x = 1 / e

por min y

y = (1 / e) ^ (1 / e)

y = 0.69220 …

Pero si me preguntas cómo resolver x ^ x = 100, entonces no es fácil, puedes usar el método de aproximación newtons para encontrar su raíz o puede estar usando la función W lamberts, puedes resolver el problema

Answer 3

Comprueba mi respuesta a la respuesta de Zane Heyl a If [math] x ^ x = 100, [/ math] ¿qué es x?

Es exactamente la misma pregunta, y pasa por el método. Solo tenga en cuenta si existe una solución y dónde se podría aislar dicha (s) solución (es).

Sugerencia: [matemática] x ^ x = \ frac {1} {2} [/ matemática] → [matemática] xlog (x) = log (\ frac {1} {2}) [/ matemática] → [matemática] xlog (x) <0 [/ matemáticas].

¡Espero que esto ayude!