Divirtámonos e intentemos resolver la ecuación diferencial
[matemáticas] f ‘(x) = f (x) [/ matemáticas].
Lo primero que debe tener en cuenta es que, si existe una [matemática] f [/ matemática], si [matemática] \ forall (\ lambda, \ mu) \ in \ mathbb R ^ 2 [/ matemática], definimos [matemática] g _ {(\ lambda, \ mu)} (x) = \ lambda f (x + \ mu) [/ math]
[matemáticas] g ‘_ {(\ lambda, \ mu)} (x) = \ frac {d} {dx} (\ lambda f (x + \ mu)) = \ lambda f’ (x + \ mu) = \ lambda f (x + \ mu) = g (x) (1) [/ matemáticas]
- ¿Cómo resolverías [matemáticas] x ^ 4 = x ^ 2 + 9 [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es el valor de [math] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {n ^ {n + 1} e} {(n + 1) ^ n} -n [/ math]?
- Cómo resolver -ln (i-1) = -ln (sqrt (2)) – i3pi / 4
- ¿Cuál es la raíz cuadrada de [matemáticas] i [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es el número si x + 12 = 3x + 20?
[matemáticas] f_0 (x) = 0 [/ matemáticas] es una solución obvia. Supongamos que existe otra [matemática] f [/ matemática] tal que [matemática] \ existe x \ en \ mathbb R, f_1 (x) \ ne 0 [/ matemática]
Entonces podemos, usando [math] (1) [/ math], definir una tercera función, [math] f_e [/ math] [math] (x) [/ math], [math] f_e (0) = 1 [ /matemáticas].
Ahora, consideremos otra función, [math] r_1 [/ math], [math] \ forall x \ in \ mathbb R, f_e (x) \ ne 0, r_1 (x) = \ frac {f_e (x + 1 )} {f_e (x)} [/ math]
Tenemos
[matemáticas] r_1 ‘(x) = \ frac {f_e (x) f_e’ (x + 1) -f_e ‘(x) f_e (x + 1)} {f_e (x) ^ 2} = \ frac {f_e ( x) f_e (x + 1) -f_e (x) f_e (x + 1)} {f_e (x) ^ 2} = 0 [/ matemáticas]
[math] \ existe a \ in \ mathbb R, \ forall x \ in \ mathbb R, f_e (x) \ ne 0, r_1 (x) = a [/ math]
Como consecuencia,
[matemática] \ forall x \ in \ mathbb R, f_e (x) \ ne 0, f (x + 1) = af (x) [/ math]
Y
[math] \ forall n \ in \ mathbb N ^ *, f_e (n) = af (n-1) = a ^ nf_e (0) = a ^ n [/ math]
[matemáticas] \ forall z \ in \ mathbb Z \ setminus \ mathbb N, f_e (n) = \ frac {f_e (z + 1)} {a} = \ frac {f_e (0)} {a ^ {- z }} = a ^ zf_e (0) = a ^ z [/ math]
Que podemos generalizar en
[math] \ forall n \ in \ mathbb Z, f_e (n) = a ^ n [/ math]
Pero también podemos definir
[matemáticas] \ forall k \ in \ mathbb N ^ *, r_k, \ forall x \ in \ mathbb R, f_e (x) \ ne 0, r_k (x) = \ frac {f_e (x + \ frac {1} { k})} {f_e (x)} [/ math]
Y todavía tenemos
[matemáticas] r’_k (x) = 0 [/ matemáticas]
[math] \ existe b_k \ in \ mathbb R, r_k (x) = b_k [/ math]
[matemáticas] f_e (x + \ frac {1} {k}) = b_kf_e (x) [/ matemáticas]
Y, como consecuencia,
[matemáticas] \ forall n \ in \ mathbb Z, f_e (\ frac {n} {k}) = f_e (\ displaystyle \ sum_ {m = 0} ^ n \ frac {1} {k}) = b_k ^ \ frac {n} {k} [/ math]
En particular
[matemáticas] a = f_e (1) = f_e (\ frac {k} {k}) = b_k ^ k \ Leftrightarrow b_k = a ^ \ frac {1} {k} [/ math]
Más generalmente,
[math] \ forall h \ in \ mathbb Q, \ exist (j, k, l) \ in \ mathbb Z \ times \ mathbb N \ times \ mathbb N ^ *, k \ lt l, h = j + \ frac { k} {l} [/ matemáticas]
[matemáticas] f_e (h) = f_e (j + \ frac {k} {l}) = b_l ^ kf (j) = a ^ \ frac {k} {l} a ^ j = a ^ {j + \ frac {k } {l}} = a ^ h [/ matemáticas]
Pero sabemos que [math] f_e [/ math] es diferenciable sobre su dominio, por lo que también es continuo. Como consecuencia,
[matemáticas] \ forall h \ in \ mathbb Q, f_e (h) = a ^ h \ Leftrightarrow \ forall x \ in \ mathbb R, f_e (x) = a ^ x [/ math]
Entonces sabemos que si existe tal función, debe ser una función de exponenciación. ¿Podemos saber más al respecto? Si, de hecho.
Notemos [math] f ^ {(n)} _ e (x) [/ math] la derivada n [math] ^ {\ text {th}} [/ math] de [math] f_e [/ math]. Tenemos
[math] \ forall n \ in \ mathbb N, \ forall x \ in \ mathbb R, f ^ {(n)} _ e (x) = f_e (x) [/ math]
En particular
[math] \ forall n \ in \ mathbb N, f ^ {(n)} _ e (0) = 1 [/ math]
Entonces, la serie Taylor de [math] f_e (x) [/ math] en el punto [math] 0 [/ math] es
[matemáticas] f_e (x) = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {f ^ {(n)} _ e (0)} {n!} x ^ n = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {x ^ n} {n!} [/ Math]
En particular
[matemáticas] f_e (1) = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {n!} = e [/ matemáticas]
Entonces, combinando todo lo que hemos visto antes
[matemáticas] a = e [/ matemáticas]
[matemáticas] f_e (x) = e ^ x [/ matemáticas]
Las soluciones a [matemáticas] f (x) = f ‘(x) [/ matemáticas] tendrán la forma
[matemáticas] f (x) = \ lambda e ^ {x}, \ lambda \ in \ mathbb R [/ matemáticas]
Editar: gracias a Gaspard Sagot por los comentarios sobre las redundancias en mi solución inicial.
Edición 2: si conoce de antemano las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas, hay otra forma más simple de encontrar la misma respuesta, aunque, de hecho, se podría argumentar que esas propiedades provienen del hecho de que [matemática] \ frac {d} {dx} e ^ x = e ^ x [/ math], de modo que el argumento es circular, de ahí mi preferencia por la solución anterior.
Deje que [math] D [/ math] sea el dominio de [math] f [/ math]. Sea [math] D_k, k \ in \ mathbb N [/ math], un subconjunto de [math] D [/ math] tal que [math] \ forall (x, y) \ en D_k, f (x) f (y) \ gt 0 [/ math] (es decir, [math] f [/ math] es consistentemente estrictamente positivo sobre [math] D_k [/ math] o es consistentemente estrictamente negativo sobre [math] D_k [/ math] En realidad, se podría demostrar que si [math] f [/ math] y [math] f ‘[/ math] se definen sobre [math] \ mathbb R [/ math], entonces [math] D_0 = \ mathbb R [/ matemáticas], pero eso está más allá de nuestro alcance aquí). Definamos
[matemáticas] f_k: D_k \ rightarrow R_k, f_k (x) = f (x) [/ matemáticas]
Es decir, [math] f_k [/ math] es la restricción de [math] f [/ math] a [math] D_k [/ math]
Todavía tenemos
[matemáticas] \ forall x \ en D_k, f’_k (x) = f_k (x) [/ matemáticas]
Por definición, [math] f_k [/ math] es estrictamente monótono sobre [math] D_k [/ math] y por lo tanto tiene un inverso.
Definamos [matemáticas] g_k: R_k \ rightarrow D_k, g_k (y) = x \ Leftrightarrow f_k (x) = y [/ math]
Tenemos [matemáticas] f_k (g_k (x)) = x [/ matemáticas]
Como consecuencia
[matemáticas] \ frac {d} {dx} f_k (g_k (x)) = \ frac {d} {dx} x = 1 [/ matemáticas]
Pero
[matemáticas] \ frac {d} {dx} = g’_k (x) f’_k (g_k (x)) = g’_k (x) f_k (g_k (x)) = xg_k ‘(x) [/ matemática ]
Entonces
[matemáticas] f_k (x) = f’_k (x) \ Leftrightarrow xg_k ‘(x) = 1 \ Leftrightarrow g’ (x) = \ frac {1} {x} [/ math]
Así
[matemáticas] g_k (x) = \ int g ‘(x) dx = \ int \ frac {1} {x} dx = \ ln (x) + C [/ matemáticas]
Y si definimos
[matemáticas] \ lambda = e ^ {- C} [/ matemáticas]
[matemáticas] f_k (x) = g ^ {- 1} (x) = e ^ {x – C} = e ^ {- C} e ^ x = \ lambda e ^ x [/ matemáticas]
Y, por extensión,
[matemáticas] f (x) = \ lambda e ^ x, \ lambda \ in \ mathbb R [/ matemáticas]
El mismo resultado, aunque tendrías que demostrar que [math] e ^ x [/ math] es la función inversa de [math] \ ln (x) [/ math] y encuentro la forma más fácil de encontrar la función inversa de [ math] \ ln (x) [/ math] el hecho de que [math] f (x) = f ‘(x) [/ math], una especie de argumento circular, una vez más.