La prueba de que [matemática] 1 + 2 + 3 + 4 + \ cdots = -1 / 12 [/ matemática] dada en el siguiente video no es correcta.
Es, en el mejor de los casos, una forma extremadamente ‘ondulada’ de probar un resultado que requiere bastante preparación y conocimiento previo de temas como la función zeta [1] y la continuación analítica [2] para que se entienda completamente.
Para el registro, aquí hay un resumen rápido de cómo este video ‘prueba’ el resultado de que [matemáticas] 1 + 2 + 3 + 4 + \ cdots = -1 / 12 [/ matemáticas]:
Paso 1 : Primero, ‘pruebe’ que [matemáticas] 1-1 + 1-1 + 1-1 + \ cdots = 1/2 [/ matemáticas] al decir sin rodeos ‘tomamos el promedio de [matemáticas] 1 [/ matemáticas ] y [matemáticas] 0 [/ matemáticas], los dos resultados posibles de esta serie ‘(a las 2:18 en el video).
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Paso 2 : Luego, ‘prueba’ que [matemáticas] 1-2 + 3-4 + 5-6 + \ cdots = 1/4 [/ matemáticas] al afirmar lo siguiente:
[matemáticas] (1-2 + 3-4 + 5-6 + \ cdots) + (0 + 1-2 + 3-4 + 5-6 + \ cdots) = (1 + 0) + (- 2 + 1 ) + (3-2) + (- 4 + 3) + (5-4) + (6-5) + \ cdots = 1-1 + 1-1 + 1-1 + \ cdots = 1/2, [ /matemáticas]
que es dos veces [matemáticas] (1-2 + 3-4 + 5-6 + \ cdots) [/ matemáticas], infiriendo el resultado.
Paso 3 : Finalmente, ‘pruebe’ que [matemáticas] 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \ cdots = -1 / 12 [/ matemáticas] al afirmar lo siguiente:
[matemáticas] (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + \ cdots) – (1-2 + 3-4 + 5-6 + \ cdots) = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + \ cdots = 4 (1 + 2 + 3 + 4 + \ cdots), [/ math]
entonces [matemáticas] 3 (1 + 2 + 3 + 4 + \ cdots) = – 1/4 [/ matemáticas], deduciendo el resultado.
Todos los tres pasos anteriores son incorrectos.
El primer paso es, francamente, un intento fallido de sumar la serie de Grandi [3], que es la serie [matemáticas] 1-1 + 1-1 + 1-1 + \ cdots [/ matemáticas]. Es cierto que [matemática] 1-1 + 1-1 + 1-1 + \ cdots [/ matemática] es Cesàro sumable [4], con Cesàro suma [matemática] 1/2 [/ matemática]. Brevemente, una serie [math] a_1 + a_2 + a_3 + \ cdots [/ math] tiene una suma de Cesàro igual a [math] c [/ math] siempre que el límite de [math] \ dfrac {s_1 + s_2 + \ cdots + s_n} {n} [/ math] es [math] c [/ math] a medida que [math] n [/ math] aumenta, donde [math] s_k [/ math] es la suma parcial [math] a_1 + a_2 + a_3 + \ cdots + a_k [/ matemáticas]. En otras palabras, si la secuencia [matemáticas] \ dfrac {s_1} {1}, \ dfrac {s_1 + s_2} {2}, \ dfrac {s_1 + s_2 + s_3} {3}, \ dfrac {s_1 + s_2 + s_3 + s_4} {4}, \ ldots [/ math] converge a [math] c [/ math], entonces la suma de Cesàro de esa serie es [math] c [/ math]. Se puede demostrar que si una serie converge a [matemática] c [/ matemática] en el sentido usual, entonces su suma Cesàro también es [matemática] c [/ matemática], pero lo contrario no es cierto, como lo ejemplifica la serie de Grandi .
El hecho de que la suma de Cesàro de [matemática] 1-1 + 1-1 + 1-1 + \ cdots [/ matemática] sea [matemática] 1/2 [/ matemática] de ninguna manera significa que la serie [matemática ] 1-1 + 1-1 + 1-1 + \ cdots [/ math] converge. Todo esto significa que hay una interpretación de esta suma, llamada suma de Cesàro, que asigna un valor significativo a esa serie.
En segundo lugar, la razón por la cual [matemáticas] 1-1 + 1-1 + 1-1 + \ cdots [/ matemáticas] puede asignarse a este valor significativo no es solo ‘tomando el promedio de [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 0 [/ matemáticas] ‘, como se afirma en el video (a las 2:18). Admito que me sorprendió cuando la persona que hablaba en el video simplemente tomó el promedio de [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y lo tomó como la ‘respuesta’ de la serie. Esperaba un poco más de rigor de Numberphile, sinceramente.
Del mismo modo, es cierto que se puede interpretar la segunda serie utilizando una suma de Cesáro generalizada (esencialmente promediando los términos de la secuencia generada anteriormente). También sucede que esto asigna el valor [matemático] 1/4 [/ matemático] a esta serie. Sin embargo, el argumento utilizado en el paso 2 es incorrecto simplemente porque la serie en cuestión no es convergente . Finalmente, se puede interpretar la tercera y más importante serie (para nosotros) utilizando lo que se llama suma de Ramanujan [5], o mediante la continuación analítica de la función Riemann-zeta como se mencionó anteriormente, pero es una serie divergente , entonces, una vez más, el argumento en el paso 3 no se puede usar.
Si desea los detalles completos de cómo interpretar correctamente [matemáticas] 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \ cdots = -1 / 12 [/ matemáticas], la publicación del blog de Terry Tao es una excelente fuente: The Euler-Maclaurin fórmula, números de Bernoulli, la función zeta y continuación analítica de variable real. Es un poco largo y un poco técnico, pero esta fuente está escrita por uno de los mejores matemáticos del planeta, entonces, ¿qué esperas?
Si desea una versión abreviada y más ‘amigable para el público’ de cómo funciona esta suma, entonces este video de 8 minutos de James Grime es adecuado. Resume brevemente cómo funciona la suma Ramanujan para asignar el valor [math] -1/12 [/ math] a nuestra infame suma. (Puede comenzar el video desde 1:11 o incluso desde 3:14 para llegar al punto más rápido).
Notas al pie
[1] Función Riemann Zeta
[2] Continuación analítica
[3] Serie de Grandi – Wikipedia
[4] Resumen de Cesàro – Wikipedia
[5] Resumen de Ramanujan – Wikipedia