Si [matemáticas] a ^ 2 + 1 = a [/ matemáticas], ¿cuál es el valor de [matemáticas] a ^ 3 [/ matemáticas]?

Requiere conocimiento de números complejos, resuelve la cuadrática para dar 1/2 más o menos 1/2 de raíz cuadrada de menos 3.

La raíz cuadrada de un negativo indica que las dos raíces son complejas, usando las reglas para multiplicar números complejos, se puede calcular el cubo de cada raíz, aunque hay dos raíces complejas, cuando la raíz compleja cuando está en cubos da el mismo número real, -1 Lo cual es bastante interesante. Su pregunta ha proporcionado dos raíces cúbicas complejas de -1, la otra raíz cúbica de -1 es, por supuesto, -1, un número real.

Del mismo modo, +1 tiene tres raíces cúbicas, una de ellas es claramente el número real +1 y las otras dos son números complejos.

El hecho de que haya utilizado la letra a para el nombre de su variable es intrigante. La raíz cúbica de 1 o, para el caso -1, es de interés para los ingenieros de potencia al modelar sistemas eléctricos trifásicos, esto se debe a que cada una de las raíces cúbicas está en 120 grados entre sí cuando se trazan en un diagrama Argand y 120 grados es precisamente el requisito para modelar sistemas trifásicos. El método se llama operador, un método, el operador se aplica para girar una línea en el plano complejo (conocido como fasor) que representa alguna cantidad, como un voltaje con un ángulo de fase asociado de 120 grados.

[matemáticas] a ^ {2} + 1 = a [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow a ^ {3} + a = a ^ {2} [/ math]

[math] \ Rightarrow a ^ {3} = a ^ {2} – a [/ math]

[matemáticas] \ Flecha derecha a ^ {3} = a ^ {2} – (a ^ {2} +1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto a ^ {3} = -1 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que esto no implica que [math] a = -1 [/ math]. Si resolvemos para [math] a [/ math], encontramos que [math] a = \ frac {1 \ pm i \ sqrt3} {2} [/ math].

La ecuación dada se puede escribir como: a ^ 2 – a + 1 = 0

Usando la fórmula cuadrática, las soluciones son:

a = (1/2) + i (√3 / 2), a = (1/2) -i (√3 / 2)

Se pueden representar usando la fórmula de Euler como:

a = e ^ (iπ / 3), a = e ^ (- iπ / 3) [ya que cos (π / 3) = 1/2 y sin (π / 3) = √3 / 2]

Entonces,

a ^ 3 = e ^ (iπ), a ^ 3 = e ^ (- iπ)

a ^ 3 = -1 en ambos casos [cos (π) = -1 y sin (π) = 0]

Es cierto que [matemáticas] a ^ 3 [/ matemáticas] coincide con el polinomio de sexto grado que obtuvo, pero puede reducir ese módulo [matemáticas] a ^ 2 – a + 1 [/ matemáticas] (que es cero, como otro forma de establecer nuestra estipulación básica) para volver a un polinomio de menor grado. De hecho, en realidad se reducirá a una constante en este caso, de [math] -1 [/ math]. Vea la respuesta de Hadrien Chevalier a If [math] a ^ 2 + 1 = a [/ math], entonces, ¿cuál es el valor de [math] a ^ 3 [/ math]? Para ver esto en acción mejor.

Otra forma de verlo es que sabemos que [matemáticas] a ^ 2 – a + 1 = 0 [/ matemáticas]. Multiplicando ambos lados por [matemáticas] a + 1 [/ matemáticas], encontramos que [matemáticas] a ^ 3 + 1 = 0 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] a ^ 3 = -1 [/ matemáticas].

Quizás una forma muy simple de encontrar esto es la siguiente:

[matemáticas] a ^ 2 = a – 1 [/ matemáticas]

Entonces :

[matemáticas] a ^ 3 = a ^ 2 – a [/ matemáticas]

Al conectar la primera ecuación a la segunda se obtiene:

[matemáticas] a ^ 3 = (a-1) – a = -1 [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] a ^ 3 = -1 [/ matemáticas]

Espero que haya ayudado!

[matemáticas] a ^ 2 -a + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a = 1/2 \ pm i * \ sqrt {3} / 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (1/2 \ pm i * \ sqrt {3} / 2) ^ 3 = -1 [/ matemáticas]

entonces la solución es -1

[matemáticas] a ^ 2 = a – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 3 = a ^ 2 – a [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 3 = -1 [/ matemáticas], ya que [matemáticas] a ^ 2 + 1 = a \ rightarrow a ^ 2 – a = -1 [/ matemáticas]

En lugar de encontrar [math] a [/ math] y enchufar (un poco desordenado), intentaremos construir [math] a ^ 3 [/ math] indirectamente. Multiplique la ecuación dada por [matemáticas] a [/ matemáticas] para obtener [matemáticas] a ^ 3 + a = a ^ 2. [/ matemáticas] Entonces [matemáticas] a ^ 3 = a ^ 2-a. [/ matemáticas] Pero [matemáticas] a ^ 2 = a-1, [/ matemáticas] entonces [matemáticas] a ^ 3 = a-1- a = -1. [/ matemáticas]

Esto se puede escribir como una ecuación cuadrática, que es mucho más fácil de resolver:

a ^ 2 – a + 1 = 0

Esta ecuación no tiene una solución en el conjunto R. Solo tiene las raíces complejas:
0.5 + 0.86602540378444i
0.5 – 0.86602540378444i

Si va a un solucionador de ecuaciones cuadráticas en línea y coloca los valores para esta ecuación, obtendrá este resultado.

dado (a ^ 2) + 1 = a

se puede escribir como (a ^ 2) = a-1

(a ^ 3) = (a ^ 2) * a = (a-1) * a = (a ^ 2) -a = a-1-a = -1

por lo tanto (a ^ 3) = – 1

Si [math] a ^ 2 + 1 = a [/ math] entonces reorganizar los términos da [math] a ^ 2-a = -1 [/ math].

Ahora, de [matemáticas] a ^ 2 + 1 = a [/ matemáticas] multiplique todo por [matemáticas] a [/ matemáticas] para dar [matemáticas] a ^ 3 + a = a ^ 2 [/ matemáticas]. Reorganice los términos para dar [matemáticas] a ^ 3 = a ^ 2-a [/ matemáticas] donde ya sabemos que el lado derecho es [matemáticas] -1 [/ matemáticas].

Entonces, [matemáticas] a ^ 3 = -1 [/ matemáticas].

Podemos verlo como [matemáticas] a ^ 2 = a-1 [/ matemáticas], entonces:

[matemáticas] a ^ 3 = a \ cdot a ^ 2 = a \ cdot (a-1) = a ^ 2 – a = (a-1) – a = -1 [/ math]

a ^ 2 + 1 = a

a ^ 2 = a-1

Multiplicar a en ambos lados

a * a ^ 2 = a (a-1)

a ^ 3 = a ^ 2 – a

a ^ 3 + 1 = (a + 1) (a ^ 2-a + 1) = (a + 1) (aa) = (a + 1) * 0 = 0, entonces a ^ 3 = -1.