Cómo probar esto, [matemáticas] \ frac {l ^ 2m} {n ^ 4p ^ 3} + \ frac {m ^ 2n} {p ^ 4q ^ 3} + \ frac {n ^ 2p} {q ^ 4l ^ 3} + \ frac {p ^ 2q} {l ^ 4m ^ 3} + \ frac {q ^ 2l} {m ^ 4n ^ 3} \ ge \ frac {1} {n ^ 3p ^ 2} + \ frac { 1} {p ^ 3q ^ 2} + \ frac {1} {q ^ 3l ^ 2} + \ frac {1} {l ^ 3m ^ 2} + \ frac {1} {m ^ 3n ^ 2} [/ matemáticas]

Answer 1

Para números reales, esto no se cumple. Suponga que [matemáticas] l = m = n = p = q = X [/ matemáticas]; entonces, la ecuación toma la forma [matemática] \ frac {5} {X ^ 4} \ geq \ frac {5} {X ^ 5} [/ matemática], o equivalente [matemática] x \ geq 1 [/ matemática] . Por lo tanto, incluso cuando se restringe a los reales positivos, esto no se cumple.

Si te limitas a los enteros, no tengo idea, y no me importa lo suficiente como para pensarlo.

Mi sugerencia inmediata sería: evaluar en el punto [matemáticas] (1,1,1,1,1) [/ matemáticas], luego verificar la derivada parcial muy desordenada (con respecto a cualquier variable, ya que la expresión es simétrica). Si la derivada parcial del LHS menos el RHS está limitada por debajo de cero cuando todos los coeficientes son mayores que uno, entonces ya está hecho, porque la diferencia aumenta de lo contrario, incluso para los enteros. Sin embargo, no me he molestado en comprobar si esto funciona; Puede servir como una solución parcial.

Answer 2

No creo que puedas probarlo. Después de mucha manipulación algebraica, y posiblemente cometiendo errores en el camino, obtengo:

[matemáticas] \ frac {l ^ 6m ^ 5pq ^ 4 + l ^ 4m ^ 6n ^ 5q + lm ^ 4n ^ 6p ^ 5 + mn ^ 4p ^ 6q ^ 5 + l ^ 5np ^ 4q ^ 6} {lmnpq}> = (l ^ 3m ^ 3pq ^ 3 + l ^ 3m ^ 3n ^ 3q + lm ^ 3n ^ 3p ^ 3 + mn ^ 3p ^ 3q ^ 3 + l ^ 3np ^ 3q ^ 3) [/ math]

Puede elegir valores para {l, m, n, p, q} donde la expresión es verdadera y otros valores donde es falsa.

Seguimiento: ingresé la simplificación anterior en Excel y experimenté. Puedo encontrar conjuntos de valores para {lmnpq} que pueden hacer que la expresión sea verdadera o falsa.