Cómo factorizar (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) -15

Answer 1

Jeffery y Amitabha han dado las soluciones más obvias. para mostrarme entre los “también corrieron” doy el siguiente método.

Deje [math] x + \ dfrac {5} {2} = t [/ math], el número que es el promedio de las cuatro patas.

[matemáticas] (t- \ dfrac {3} {2}) (t + \ dfrac {3} {2}) (t- \ dfrac {1} {2}) (t + \ dfrac {1} {2}) – 15 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (t ^ 2- \ dfrac {9} {4}) (t ^ 2- \ dfrac {1} {4}) = 15 [/ matemáticas]

Ahora deje que [math] t ^ 2- \ dfrac {5} {4} = u [/ math]

[matemáticas] (u-1) (u + 1) = 15 [/ matemáticas]

[matemáticas] u ^ 2–1 = 15 [/ matemáticas]

[matemáticas] u = \ pm 4 [/ matemáticas]

La sustitución de espalda da

[matemáticas] t ^ 2- \ dfrac {5} {4} = u \ pm 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] t ^ 2 = \ dfrac {21} {4} [/ matemáticas] o [matemáticas] \ dfrac {-11} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] t = \ pm \ dfrac {\ sqrt {21}} {2} o \ pm i \ dfrac {\ sqrt {11}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] Entonces x = \ dfrac {5 \ pm \ sqrt {21}} {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ dfrac {5 \ pm i \ sqrt {11}} {2} [/ matemáticas]

Answer 2

Sabemos que [matemáticas] a ^ 2-b ^ 2 = (a + b) (ab) [/ matemáticas], por lo que sería bueno si pudiéramos escribir [matemáticas] (x + 1) (x + 2) ( x + 3) (x + 4) [/ math] como un cuadrado. No podemos ver cómo hacerlo, pero debido a la simetría podemos tratar de expresarlo como el producto de dos términos similares:

[matemáticas] (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = (x + 1) (x + 4) (x + 2) (x + 3) = (x ^ 2 + 5x + 4) (x ^ 2 + 5x + 6) [/ matemáticas].

Por lo tanto, nuestra expresión es [matemáticas] (x ^ 2 + 5x + 4) (x ^ 2 + 5x + 6) -15 [/ matemáticas], que tiene ‘último coeficiente’ [matemáticas] 9 [/ matemáticas]. Ahora mire las [matemáticas] 4 [/ matemáticas] y las [matemáticas] 6; [/ matemáticas] suman a [matemáticas] 10 [/ matemáticas]. Si los reemplazamos con otros dos números que suman [math] 10 [/ math], digamos [math] s [/ math] y [math] t [/ math], solo cambiará el último coeficiente (a [math] st [/matemáticas]). Entonces buscamos [math] s [/ math] y [math] t [/ math] de manera que [math] s + t = 10 [/ math] y [math] st = 9 [/ math]. Esto está claramente satisfecho por [matemáticas] s = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] t = 9 [/ matemáticas]. Por lo tanto:

[matemáticas] (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) -15 = (x ^ 2 + 5x + 1) (x ^ 2 + 5x + 9) [/ matemáticas], como necesario.

Answer 3

[matemáticas] (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) – 15 = \ big ((x + 1) (x + 4) \ big) \ cdot \ big ((x + 2) (x + 3) \ grande) – 15 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (y + 4) (y + 6) – 15 [/ matemáticas] donde [matemáticas] y = x ^ 2 + 5x [/ matemáticas]

[matemáticas] = y ^ 2 + 10y + 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (y + 1) (y + 9) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x ^ 2 + 5x + 1) (x ^ 2 + 5x + 9) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x- \ alpha) (x- \ beta) (x ^ 2 + 5x + 9) [/ matemáticas], donde [matemáticas] \ alfa, \ beta = \ frac {1} {2} (- 5 \ pm \ sqrt {21}) [/ matemáticas].

Tenga en cuenta que [math] x ^ 2 + 5x + 9 [/ math] es irreducible sobre [math] \ mathbb R [/ math], pero puede factorizarse como [math] (x- \ gamma) (x- \ overline { \ gamma}) [/ math] donde [math] \ gamma = \ frac {1} {2} (- 5+ \ sqrt {11} i) [/ math] sobre [math] \ mathbb C [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 4

La pregunta ya está casi en forma factorizada. Creo que quería resolver para x. Si ese es el caso, la respuesta se resuelve en la imagen a continuación.

Answer 5