¿Cómo factoriza [matemáticas] (b ^ {2} + b) (2b + 1) – (a ^ {2} -a) (2a-1) [/ matemáticas]

Answer 1

Si sustituye a = b + 1 en (a ^ 2 − a) (2a − 1) obtendrá (b ^ 2 + b) (2b + 1). Por lo tanto, b + 1-a es un factor de la expresión que desea factorizar. Me llevó un poco de tiempo, pero descubrí que el otro factor era 2a ^ 2 + 2ab + 2b ^ 2-a + b. La única regla útil que se me ocurre que proviene de este ejemplo es que si un cúbico en a y b se puede factorizar en absoluto, entonces debe esperar que uno de los factores sea lineal (porque si ambos factores fueran cuadráticos, esperaría 4to. términos de grado en el producto). Por lo tanto, podría intentar sustituir a = Xb + Y y ver si hay una opción de X e Y que haga que la expresión salga a cero. En el caso del problema dado, cuando ha realizado la sustitución a = Xb + Y, hay dos opciones de X (X = 1 o X = -1) que hacen que el coeficiente de b ^ 3 sea igual a cero y para cualquiera de estas opciones Y = 1 es la única opción que hace que el coeficiente b ^ 2 sea igual a cero; y esto también hace que el término constante sea cero. El coeficiente b es cero para X = Y = 1. Por lo tanto, para el problema dado, esto explica por qué b + 1-a es un factor.

Answer 2

factorizar no es fácil si no conoces algunos factores. es como la factorización prima sin saber qué números son primos.

si tienes un factor, puedes dividirlo para avanzar. es principalmente prueba y error, pero a medida que adquieres más experiencia, por supuesto cometes menos errores.

es útil saber en qué condición de ayb su función es igual a 0.

entonces, en este caso, su función será 0 si [matemática] (b ^ 2 + b) (2b + 1) = (a ^ 2-a) (2a-1) [/ matemática]

algunos ya verán aquí, que esto será cierto para [matemáticas] a = b + 1 [/ matemáticas]. si no, intente factorizar un poco ambos lados, tal vez vea algo mientras lo hace.

[matemáticas] b (2 (b + 1) ^ 2- (b + 1)) = b (2b ^ 2 + 3b + 1) = 2b ^ 3 + 3b ^ 2 + b = (b ^ 2 + b) ( 2b + 1) = (a ^ 2-a) (2a-1) = 2a ^ 3–3a ^ 2 + a = a (2a ^ 2-3a + 1) = a (2 (a-1) ^ 2 + a-1) [/ matemáticas]

en esta etapa, debe preguntarse sobre el término (b + 1) o el término (a-1), suponiendo que a = b + 1, se expanda rápidamente nuevamente, por lo que vale la pena intentarlo:

[matemáticas] b (2 (b + 1) ^ 2- (b + 1)) = (a-1) (2a ^ 2-a) = 2a ^ 3–3a ^ 2 + a [/ matemáticas]

ahora vemos claramente que a = b + 1 encaja, entonces con a = b + 1 tienes b + 1-a = 0, entonces un factor es (b-a + 1). Ahora puede expandir su función y dividirla.

[matemáticas] \ begin {array} {lcr} 2b ^ 3- 2a ^ 3 + 3b ^ 2 + 3a ^ 2 + ba &: \; b-a + 1 & = \; 2b ^ 2 | + 2a ^ 2 | + 2ab | + b | -a \\ – (2b ^ 3-2ab ^ 2 + 2b ^ 2) & {} y {} \\ \ hline = -2a ^ 3 + 2ab ^ 2 + b ^ 2 + 3a ^ 2 + ba & {} & {} \\ – (- 2a ^ 3 + 2a ^ 2b + 2a ^ 2) & {} & {} \\ \ hline = 2ab ^ 2-2a ^ 2b + b ^ 2 + a ^ 2 + ba & {} & {} \\ – (2ab ^ 2-2a ^ 2b + 2ab) & {} & {} \\ \ hline = b ^ 2 + a ^ 2-2ab + ba & {} & {} \\ – (b ^ 2-ab + b) & {} & {} \\ \ hline = a ^ 2-ab-a & {} & {} \\ – (a ^ 2-ab-a) & { } & {} \\ \ hline = 0 & {} & {} \ end {array} [/ math]

Las líneas verticales solo indicarán cada paso de la construcción del polinoma.

así que finalmente llegamos

[matemáticas] (b ^ 2 + b) (2b + 1) – (a ^ 2-a) (2a-1) = (b-a + 1) (2b ^ 2 + 2a ^ 2 + 2ab + ba) [ /matemáticas]