Cómo resolver [math] \ displaystyle \ int \ frac {\ arcsin (x)} {x} \ dx [/ math]

Answer 1

Ok, déjame intentarlo.

Entonces, deje que [math] I = \ displaystyle \ int \ frac {\ sin ^ {- 1} x} {x} dx [/ math]

[matemáticas] \ text {Let} \ sin ^ {- 1} x = u [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow x = \ sin u [/ matemática]

[math] \ Rightarrow \ text {d} x = \ cos u \ text {d} u [/ math]

[matemáticas] \ text {So} [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ left (\ frac {u} {\ sin u} \ right) \ cos u \ text {d} u [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int u \ cot u \ text {d} u [/ math]

[matemáticas] \ text {Integrando por partes obtenemos} [/ matemáticas]

[matemáticas] = u \ displaystyle \ int \ cot u \ text {d} u- \ displaystyle \ int \ left (\ int \ cot u \ text {d} u \ right) \ text {d} u [/ math]

[matemáticas] = u \ ln \ sin u- \ displaystyle \ int \ ln (\ sin u) \ text {d} u [/ math]

Ahora nuestro dolor de cabeza es [matemáticas] \ displaystyle \ int \ ln (\ sin u) \ text {d} u [/ math]

Así que solucionémoslo.

[matemáticas] I_ {1} = \ displaystyle \ int \ ln (\ sin x) \ text {d} x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {So}, I_ {1} = \ displaystyle \ int \ ln \ left (\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} \ right) \ text {d} x [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int \ ln \ left (e ^ {ix} -e ^ {- ix} \ right) \ text {d} x- \ ln 2i \ displaystyle \ int \ text {d} x [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int \ ln \ left (\ frac {e ^ {2ix} -1} {e ^ {ix}} \ right) \ text {d} x- \ ln 2i \ displaystyle \ int \ text {d} x [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int \ ln \ left (e ^ {2ix} -1 \ right) \ text {d} x- \ displaystyle \ int \ ln \ left (e ^ {ix} \ right) \ text { d} x- \ ln 2i \ displaystyle \ int \ text {d} x \ tag {1} [/ math]

[matemáticas] \ require {action} \ toggle {\ bbox [#FAF, 5px] {\ text {Para la integración de} \ ln (e ^ {2ix} -1) \ text {haga clic aquí}}} {\ begin { alinear} I & = \ int \ ln (e ^ {ix} -1) \ mathrm dx \\ & \ text {Let} y = 2ix \ implica \ mathrm dy = 2i \ mathrm dx \\ & = \ dfrac1 {2i} \ int \ ln (e ^ y-1) \ mathrm dy \\\ hline & \ text {Integrando por partes obtenemos} \\\ hline I & = – \ dfrac i {2} \ left [y \ ln (e ^ y -1) – \ int \ dfrac {ye ^ y} {e ^ y-1} \ mathrm dy \ right] \\ & = \ frac {-i} {2} y \ ln (e ^ y-1) + \ frac {i} {2} \ int \ dfrac {ye ^ y} {e ^ y-1} \ mathrm dy \\\ hline & \ text {Let} m = e ^ y \ mathrm \ Rightarrow y = \ ln m \ por lo tanto \ text {d} m = e ^ y \ text {d} y \\\ hline I & = – \ dfrac i2y \ ln (e ^ y-1) + \ frac {i} {2} \ int \ dfrac {\ ln m} {m-1} \ mathrm dm \\\ hline & \ text {Let} m = 1-w \ implica \ mathrm dm = – \ mathrm dw \\\ hline I & = – \ dfrac i2y \ ln ( e ^ y-1) + \ frac {i} {2} \ int \ dfrac {\ ln (1-w)} {- w} (- \ mathrm dw) \\ & = – \ frac {i} {2 } yln (e ^ y-1) + i \ int \ dfrac {\ ln (1-w)} w \ mathrm dw \\ & = – \ frac {i} {2} y \ ln (e ^ y-1 ) – \ frac {i} {2} \ int- \ dfrac {\ ln (1-w)} w \ mathrm dw \\ & = – iy \ ln (e ^ y-1) -i \ mathrm {Li} _2 {w} + C \\ & = – \ frac {i} {2} (2ix) \ ln (e ^ {ix} -1) – \ frac {i} {2} \ mathrm {Li} _2 (1 -m) + C \\ & \ boxed {x \ ln (e ^ {2ix} -1) – \ fra c {i} {2} \ mathrm {Li} _2 (1-e ^ {2ix}) + C} \ end {align}} \ endtoggle [/ math]

[matemáticas] \ text {Entonces, poniendo todos los valores, obtenemos de la ecuación (1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] I_ {1} = x \ ln (e ^ {2ix} -1) – \ frac {i} {2} Li_ {2} (1-e ^ {2ix}) – \ frac {ix ^ {2 }} {2} -x \ ln 2i + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas]

[matemáticas] I = u \ ln \ sin ux \ ln (e ^ {2iu} -1) – \ frac {i} {2} Li_ {2} (1-e ^ {2iu}) – \ frac {iu ^ {2}} {2} -u \ ln 2i + C [/ matemáticas]

[math] \ text {Ahora solo ingrese el valor de u para obtener el resultado deseado} [/ math]

La función especial utilizada aquí es la función de Spence. Https://www.google.co.in/url? Sa = …

Parece que Kanak Dhotre publiqué la respuesta cuando la estaba escribiendo. ¡Así que acéptalo también por su conocimiento!

[matemáticas] \ text {¡salud!} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Enorme {\ ddot \ smile} [/ matemáticas]

Answer 2

Tenemos,

[matemáticas] \ begin {align} I = \ int \ frac {\ arcsin {x}} {x} dx \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Sustituya [math] \ arcsin {x} = u [/ math],

• [matemáticas] \ begin {align} \ implica x = \ sin (u) \ end {align} \ tag * {} [/ math]
• [matemáticas] \ begin {align} \ implica dx = \ cos (u) du \ end {align} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} I = \ int \ frac {u \ \ cos {(u)}} {\ sin (u)} \ du \ end {align} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} \ implica I = \ int u \ cdot \ cot {u} du \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Use la integración por partes para tomarlo desde aquí,

[matemáticas] \ begin {align} \ implica I = \ int \ underbrace {u} _ {P} \ cdot \ underbrace {\ cot {u}} _ {Q} \ \ du \ end {align} \ tag * { }[/matemáticas]

[matemáticas] \ begin {align} \ implica I = u \ ln {\ sin {u}} – \ int \ ln {\ sin {x}} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

No hay forma de expresar la última integral utilizando las funciones elementales . Tendrá que usar una función especial llamada Integral logarítmica para tomarla desde aquí. No voy a mostrar cómo llegamos a la respuesta final. Hay muchos motores computacionales en la web que le brindan una respuesta con pasos.

Integral de ln (sinx)

Answer 3

[matemáticas] \ begin {align} I & = \ int \ dfrac {\ arcsin x} {x} \ mathrm dx \\ & \ text {Let} u = \ arcsin x \ implica \ sin u = x \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ implica \ cos u \, \ mathrm du = \ mathrm dx \\\ hline & = \ int \ dfrac {u \ cos u} {\ sin u} \ mathrm du \\ & \ text {Cambiar a complejo } \\ & = \ int u \ cdot \ dfrac {e ^ {iu} + e ^ {- iu}} 2 \ cdot \ dfrac {2i} {e ^ {iu} -e ^ {- iu}} \ mathrm du \\ & = \ int \ dfrac {iu (e ^ {iu} + e ^ {- iu})} {e ^ {iu} -e ^ {- iu}} \ mathrm du \\ & = \ int \ dfrac {iu (e ^ {2iu} +1)} {e ^ {2iu} -1} \ mathrm du \\\ hline & \ text {Dejamos} v = e ^ {2iu} -1 \ implica e ^ {2iu } = v + 1 \ implica 2iu = \ ln (v + 1) \\ & \ qquad \ mathrm dv = 2ie ^ {2iu} \ mathrm du \ implica \ mathrm du = \ dfrac {\ mathrm dv} {2ie ^ { 2iu}} = \ dfrac {\ mathrm dv} {2i (v + 1)} \\\ hline & = \ int \ dfrac {i \ cdot \ dfrac {\ ln (v + 1)} {2i} \ cdot ( v + 2)} {v} \ cdot \ dfrac {\ mathrm dv} {2i (v + 1)} \\ & = – \ dfrac i4 \ int \ left [\ dfrac {(v + 2)} {v ( v + 1)} \ right] \ ln (v + 1) \, \ mathrm dv \\ & = – \ dfrac i4 \ int \ left [\ dfrac {2 (v + 1) -v} {v (v + 1)} \ right] \ ln (v + 1) \, \ mathrm dv \\ & = – \ dfrac i4 \ int \ left [\ dfrac2v- \ dfrac1 {v + 1} \ right] \ ln (v + 1 ) \, \ mathrm dv \\ & = – \ dfrac i2 \ int \ dfrac {\ ln (v + 1)} v \ mathrm dv + \ dfrac i4 \ int \ dfrac {\ ln (v + 1)} {v + 1} \ mathrm dv \\ & = – \ dfrac i2 \ int \ dfrac {\ ln (v + 1)} v \ mathrm dv + \ dfrac i4 \ int \ ln (v + 1) \ mathrm d [\ ln (v +1)] \\ & = – \ dfrac i2 \ int \ dfrac {\ ln (v + 1)} v \ mathrm dv + \ dfrac i8 \ ln ^ 2 (v + 1) \\\ hline & \ text {Let} v = -w \ implica \ mathrm dv = – \ mathrm dw \\ & = – \ dfrac i2 \ int \ dfrac {\ ln (1-w)} {- w} (\ mathrm {-d} w) + \ dfrac i8 \ ln ^ 2 (v + 1) \\ & = \ dfrac i2 \ int- \ dfrac {\ ln (1-w)} w \ mathrm dw + \ dfrac i8 \ ln ^ 2 (v + 1) \\ & = \ dfrac i2 \ mathrm {Li} _2 (w) + \ dfrac i8 (\ ln (e ^ {2iu})) ^ 2 \\ & = \ dfrac i2 \ mathrm {Li} _2 (-v) + \ dfrac i8 (2iu) ^ 2 \\ & = \ dfrac i2 \ mathrm {Li} _2 (1-e ^ {2iu}) + \ dfrac i8 \ cdot (-4u ^ 2) \\ & = \ bbox [2pt, borde: 2pt # 0a1 sólido] {\ bbox [# AFA, 10px] {\ dfrac i2 \ mathrm {Li} _2 (1-e ^ {2i \ arcsin x}) – \ dfrac i2 (\ arcsin x) ^ 2} } \ end {align} \ tag * {} [/ math]

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• Función de Spence o dilogaritmo [matemáticas] \ displaystyle \ mathrm {Li} _2 (x) = \ int- \ dfrac {\ ln (1-x)} {x} \ tag * {} [/ matemáticas]

Answer 4

El resultado de esta integral no es una función elemental. Si coloca esto en Wolfram Alpha, el resultado es en términos de la función de pollogaritmo que no es una función elemental. Puede leer más sobre la función de pollogaritmo aquí: Poliglogaritmo – Wikipedia

Puede encontrar el resultado de la integral aquí (verá que la integral se expresa en términos de la función de pollogaritmo).

Motor de conocimiento computacional

Answer 5

Intenté dos maneras aquí.

En ambos sentidos, estoy volviendo a la pregunta.

Así que no creo que se pueda resolver usando funciones elementales.

Aquí está la solución de Wolfram.

No tengo idea de cómo diablos se resolvió.

PD: esta es la primera vez que utilizo Wolfram Alpha.

Answer 6

Integral (0, 1) (arcsin (x) / x * dx = PI / 2 * lnx