Deje que [matemáticas] T = \ displaystyle \ int \ frac {1} {x \ sqrt {ax – x ^ 2}} \, \ mathrm dx = \ int \ frac {2} {x \ sqrt {a ^ 2 – \ left (a – 2x \ right) ^ 2}} \, \ mathrm dx [/ math]
Utilizamos una sustitución trigonométrica para el término [math] (a – 2x) [/ math]:
Deje [math] a \ sin {u} = a – 2x \ \ por lo tanto x = \ frac {a} {2} \ left (1 – \ sin {u} \ right) [/ math] y [math] a \ cos {u} \, \ mathrm du = -2 \, \ mathrm dx [/ math]
[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto T & = \ int \ frac {- a \ cos {u}} {\ frac {a} {2} \ left (1 – \ sin {u} \ right) \ sqrt {a ^ 2 – \ left (a \ sin {u} \ right) ^ 2}} \, \ mathrm du \\ & = – \ frac {2} {\ sqrt {a ^ 2}} \ int \ frac { \ cos {u}} {\ left (1 – \ sin {u} \ right) \ sqrt {1 – \ sin ^ 2 {u}}} \, \ mathrm du \ end {align} [/ math]
Pero recuerde que [math] \ sin ^ 2 {\ theta} + \ cos ^ 2 {\ theta} \ equiv 1 [/ math], entonces [math] \ sqrt {1 – \ sin ^ 2 {\ theta}} \ equiv \ cos {\ theta} [/ math],
y tenga en cuenta que [math] \ sqrt {a ^ 2} = \ left \ lvert a \ right \ rvert [/ math].
[matemáticas] \ por lo tanto T = \ displaystyle – \ frac {2} {\ left \ lvert a \ right \ rvert} \ int \ frac {\ cos {u}} {\ left (1 – \ sin {u} \ right ) \ cos {u}} \, \ mathrm du = – \ frac {2} {\ left \ lvert a \ right \ rvert} \ int \ frac {1} {1 – \ sin {u}} \, \ mathrm du [/ math]
Ahora [matemáticas] \ sin {2 \ theta} \ equiv 2 \ sin {\ theta} \ cos {\ theta} [/ matemáticas], entonces [matemáticas] \ sin {\ theta} \ equiv 2 \ sin {\ frac { \ theta} {2}} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} [/ math], y sabemos que [math] 1 \ equiv sin ^ 2 {\ frac {\ theta} {2}} + \ cos ^ 2 {\ frac {\ theta} {2}} [/ math],
[matemáticas] \ begin {align} \ text {so} 1 – \ sin {\ theta} & \ equiv 1 – 2 \ sin {{\ scriptsize \ frac {\ theta} {2}}} \ cos {{\ scriptsize \ frac {\ theta} {2}}} \\ & \ equiv \ sin ^ 2 {{\ scriptsize \ frac {\ theta} {2}}} + \ cos ^ 2 {{\ scriptsize \ frac {\ theta} {2}}} – 2 \ sin {{\ scriptsize \ frac {\ theta} {2}}} \ cos {{\ scriptsize \ frac {\ theta} {2}}} \\ & \ equiv \ left (\ sin {{\ scriptsize \ frac {\ theta} {2}}} – \ cos {{\ scriptsize \ frac {\ theta} {2}}} \ right) ^ 2 \ end {align} [/ math]
[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto T & = – \ frac {2} {\ left \ lvert a \ right \ rvert} \ int \ frac {1} {\ left (\ sin {\ frac {u} { 2}} – \ cos {\ frac {u} {2}} \ right) ^ 2} \, \ mathrm du \\ & = – \ frac {2} {\ left \ lvert a \ right \ rvert} \ int \ frac {\ sec ^ 2 {\ frac {u} {2}}} {\ left (\ tan {\ frac {u} {2}} – 1 \ right) ^ 2} \, \ mathrm du \ end { alinear} [/ math]
Deje [math] v = \ tan {\ frac {u} {2}} – 1 \ \ por lo tanto \ mathrm dv = \ frac {1} {2} sec ^ 2 {\ frac {u} {2}} \, \ mathrm du [/ math]
[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto T & = – \ frac {4} {\ left \ lvert a \ right \ rvert} \ int \ frac {1} {v ^ 2} \, \ mathrm dv \\ & = \ frac {4} {\ left \ lvert a \ right \ rvert v} \\ & = \ frac {4} {\ left \ lvert a \ right \ rvert \ left (\ tan {\ frac {u} {2 }} – 1 \ right)} \ end {align} [/ math]
Ahora necesitaremos hacer un poco de manipulación trigonométrica para indebir esa primera sustitución:
[matemáticas] \ tan {\ frac {\ theta} {2}} \ equiv \ dfrac {1 – \ cos {\ theta}} {\ sin {\ theta}} \ equiv \ csc {\ theta} – \ cot { \ theta} [/ math].
[matemáticas] a \ sin {u} = a – 2x \ \ por lo tanto \ csc {u} = \ dfrac {a} {a – 2x} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ cot ^ 2 {u} = \ csc ^ 2 {u} – 1 = \ dfrac {a ^ 2} {\ left (a – 2x \ right) ^ 2} – 1 = \ dfrac {a ^ 2 – \ left (a – 2x \ right) ^ 2} {\ left (a – 2x \ right) ^ 2} = \ dfrac {4 (ax – x ^ 2)} {\ left (a – 2x \ right) ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto \ tan {{\ scriptsize \ frac {u} {2}}} – 1 & = \ csc {u} – \ cot {u} – 1 \\ & = \ dfrac { a – \ sqrt {4 (ax – x ^ 2)} – (a – 2x)} {a – 2x} \\ & = \ dfrac {2x – 2 \ sqrt {ax – x ^ 2}} {a – 2x } \ end {align} [/ math]
[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto T & = \ frac {4} {\ left \ lvert a \ right \ rvert} \ left (\ frac {a – 2x} {2x – 2 \ sqrt {ax – x ^ 2}} \ right) \\ & = \ frac {2 (a – 2x)} {\ left \ lvert a \ right \ rvert \ left (x – \ sqrt {ax – x ^ 2} \ right)} \\ & = \ frac {2 (a – 2x) \ left (x + \ sqrt {ax – x ^ 2} \ right)} {\ left \ lvert a \ right \ rvert \ left (x – \ sqrt {ax – x ^ 2} \ right) \ left (x + \ sqrt {ax – x ^ 2} \ right)} \\ & = \ frac {2 (a – 2x) \ left (x + \ sqrt {ax – x ^ 2 } \ right)} {\ left \ lvert a \ right \ rvert \ left (x ^ 2 – \ left (ax – x ^ 2 \ right) \ right)} \\ & = \ frac {2 (a – 2x) \ left (x + \ sqrt {ax – x ^ 2} \ right)} {- \ left \ lvert a \ right \ rvert x \ left (a – 2x \ right)} \\ & = – \ frac {2} {\ left \ lvert a \ right \ rvert} – \ frac {2 \ sqrt {ax – x ^ 2}} {\ left \ lvert a \ right \ rvert x} \\ & = \ boxed {- \ frac {2 \ sqrt {ax – x ^ 2}} {\ left \ lvert a \ right \ rvert x} + C} \ end {align} [/ math]
Esta derivación se volvió un poco complicada hacia el final, y al mirar la respuesta no puedo evitar sentir que debe haber una forma más simple de llegar aquí, aunque esto es lo mejor que puedo encontrar hasta ahora 🙂
Letra pequeña: • cuando uso [math] \ log [/ math] esto denota un logaritmo natural (base [math] e [/ math] ); si se pretende cualquier otra base, se mostrará como un subíndice • Generalmente omito las constantes de integración de integrales indefinidas hasta que muestre un resultado final o intermedio •