Cómo resolver la integral [matemáticas] \ int \ frac {1} {x \ sqrt {ax-x ^ 2}} dx [/ matemáticas]

Bien, daré un método mucho más corto para evaluar esto:

[matemáticas] \ implica I = \ displaystyle \ int \ dfrac {dx} {x \ sqrt {ax-x ^ 2}} [/ matemáticas]

[matemática] \ estrella [/ matemática] Sustituye [matemática] x = \ dfrac {1} {t} \ implica dx = – \ dfrac {dt} {t ^ 2} [/ matemática]

[matemáticas] \ implica I = – \ displaystyle \ int \ dfrac {dt} {t ^ 2 \ times \ dfrac {1} {t} \ times \ sqrt {\ dfrac {a} {t} – \ dfrac {1} {t ^ 2}}} [/ matemáticas]

[matemática] \ implica I = – \ displaystyle \ int \ dfrac {dt} {\ sqrt {at-1}} [/ math]

[matemáticas] \ implica I = – \ dfrac {2 \ sqrt {at-1}} {a} + C \ quad \ left [\ displaystyle \ int \ dfrac {dx} {\ sqrt {x}} = 2 \ sqrt {x} + C \ derecha] [/ matemáticas]

[math] \ implica \ boxed {I = – \ dfrac {2 \ sqrt {ax-x ^ 2}} {ax} + C} [/ math]

que coincide con la respuesta de Dave Clark.

Deje que [matemáticas] T = \ displaystyle \ int \ frac {1} {x \ sqrt {ax – x ^ 2}} \, \ mathrm dx = \ int \ frac {2} {x \ sqrt {a ^ 2 – \ left (a – 2x \ right) ^ 2}} \, \ mathrm dx [/ math]

Utilizamos una sustitución trigonométrica para el término [math] (a – 2x) [/ math]:
Deje [math] a \ sin {u} = a – 2x \ \ por lo tanto x = \ frac {a} {2} \ left (1 – \ sin {u} \ right) [/ math] y [math] a \ cos {u} \, \ mathrm du = -2 \, \ mathrm dx [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto T & = \ int \ frac {- a \ cos {u}} {\ frac {a} {2} \ left (1 – \ sin {u} \ right) \ sqrt {a ^ 2 – \ left (a \ sin {u} \ right) ^ 2}} \, \ mathrm du \\ & = – \ frac {2} {\ sqrt {a ^ 2}} \ int \ frac { \ cos {u}} {\ left (1 – \ sin {u} \ right) \ sqrt {1 – \ sin ^ 2 {u}}} \, \ mathrm du \ end {align} [/ math]

Pero recuerde que [math] \ sin ^ 2 {\ theta} + \ cos ^ 2 {\ theta} \ equiv 1 [/ math], entonces [math] \ sqrt {1 – \ sin ^ 2 {\ theta}} \ equiv \ cos {\ theta} [/ math],
y tenga en cuenta que [math] \ sqrt {a ^ 2} = \ left \ lvert a \ right \ rvert [/ math].

[matemáticas] \ por lo tanto T = \ displaystyle – \ frac {2} {\ left \ lvert a \ right \ rvert} \ int \ frac {\ cos {u}} {\ left (1 – \ sin {u} \ right ) \ cos {u}} \, \ mathrm du = – \ frac {2} {\ left \ lvert a \ right \ rvert} \ int \ frac {1} {1 – \ sin {u}} \, \ mathrm du [/ math]

Ahora [matemáticas] \ sin {2 \ theta} \ equiv 2 \ sin {\ theta} \ cos {\ theta} [/ matemáticas], entonces [matemáticas] \ sin {\ theta} \ equiv 2 \ sin {\ frac { \ theta} {2}} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} [/ math], y sabemos que [math] 1 \ equiv sin ^ 2 {\ frac {\ theta} {2}} + \ cos ^ 2 {\ frac {\ theta} {2}} [/ math],

[matemáticas] \ begin {align} \ text {so} 1 – \ sin {\ theta} & \ equiv 1 – 2 \ sin {{\ scriptsize \ frac {\ theta} {2}}} \ cos {{\ scriptsize \ frac {\ theta} {2}}} \\ & \ equiv \ sin ^ 2 {{\ scriptsize \ frac {\ theta} {2}}} + \ cos ^ 2 {{\ scriptsize \ frac {\ theta} {2}}} – 2 \ sin {{\ scriptsize \ frac {\ theta} {2}}} \ cos {{\ scriptsize \ frac {\ theta} {2}}} \\ & \ equiv \ left (\ sin {{\ scriptsize \ frac {\ theta} {2}}} – \ cos {{\ scriptsize \ frac {\ theta} {2}}} \ right) ^ 2 \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto T & = – \ frac {2} {\ left \ lvert a \ right \ rvert} \ int \ frac {1} {\ left (\ sin {\ frac {u} { 2}} – \ cos {\ frac {u} {2}} \ right) ^ 2} \, \ mathrm du \\ & = – \ frac {2} {\ left \ lvert a \ right \ rvert} \ int \ frac {\ sec ^ 2 {\ frac {u} {2}}} {\ left (\ tan {\ frac {u} {2}} – 1 \ right) ^ 2} \, \ mathrm du \ end { alinear} [/ math]

Deje [math] v = \ tan {\ frac {u} {2}} – 1 \ \ por lo tanto \ mathrm dv = \ frac {1} {2} sec ^ 2 {\ frac {u} {2}} \, \ mathrm du [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto T & = – \ frac {4} {\ left \ lvert a \ right \ rvert} \ int \ frac {1} {v ^ 2} \, \ mathrm dv \\ & = \ frac {4} {\ left \ lvert a \ right \ rvert v} \\ & = \ frac {4} {\ left \ lvert a \ right \ rvert \ left (\ tan {\ frac {u} {2 }} – 1 \ right)} \ end {align} [/ math]

Ahora necesitaremos hacer un poco de manipulación trigonométrica para indebir esa primera sustitución:

[matemáticas] \ tan {\ frac {\ theta} {2}} \ equiv \ dfrac {1 – \ cos {\ theta}} {\ sin {\ theta}} \ equiv \ csc {\ theta} – \ cot { \ theta} [/ math].

[matemáticas] a \ sin {u} = a – 2x \ \ por lo tanto \ csc {u} = \ dfrac {a} {a – 2x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cot ^ 2 {u} = \ csc ^ 2 {u} – 1 = \ dfrac {a ^ 2} {\ left (a – 2x \ right) ^ 2} – 1 = \ dfrac {a ^ 2 – \ left (a – 2x \ right) ^ 2} {\ left (a – 2x \ right) ^ 2} = \ dfrac {4 (ax – x ^ 2)} {\ left (a – 2x \ right) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto \ tan {{\ scriptsize \ frac {u} {2}}} – 1 & = \ csc {u} – \ cot {u} – 1 \\ & = \ dfrac { a – \ sqrt {4 (ax – x ^ 2)} – (a – 2x)} {a – 2x} \\ & = \ dfrac {2x – 2 \ sqrt {ax – x ^ 2}} {a – 2x } \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto T & = \ frac {4} {\ left \ lvert a \ right \ rvert} \ left (\ frac {a – 2x} {2x – 2 \ sqrt {ax – x ^ 2}} \ right) \\ & = \ frac {2 (a – 2x)} {\ left \ lvert a \ right \ rvert \ left (x – \ sqrt {ax – x ^ 2} \ right)} \\ & = \ frac {2 (a – 2x) \ left (x + \ sqrt {ax – x ^ 2} \ right)} {\ left \ lvert a \ right \ rvert \ left (x – \ sqrt {ax – x ^ 2} \ right) \ left (x + \ sqrt {ax – x ^ 2} \ right)} \\ & = \ frac {2 (a – 2x) \ left (x + \ sqrt {ax – x ^ 2 } \ right)} {\ left \ lvert a \ right \ rvert \ left (x ^ 2 – \ left (ax – x ^ 2 \ right) \ right)} \\ & = \ frac {2 (a – 2x) \ left (x + \ sqrt {ax – x ^ 2} \ right)} {- \ left \ lvert a \ right \ rvert x \ left (a – 2x \ right)} \\ & = – \ frac {2} {\ left \ lvert a \ right \ rvert} – \ frac {2 \ sqrt {ax – x ^ 2}} {\ left \ lvert a \ right \ rvert x} \\ & = \ boxed {- \ frac {2 \ sqrt {ax – x ^ 2}} {\ left \ lvert a \ right \ rvert x} + C} \ end {align} [/ math]

Esta derivación se volvió un poco complicada hacia el final, y al mirar la respuesta no puedo evitar sentir que debe haber una forma más simple de llegar aquí, aunque esto es lo mejor que puedo encontrar hasta ahora 🙂


Letra pequeña: • cuando uso [math] \ log [/ math] esto denota un logaritmo natural (base [math] e [/ math] ); si se pretende cualquier otra base, se mostrará como un subíndice • Generalmente omito las constantes de integración de integrales indefinidas hasta que muestre un resultado final o intermedio •

Sustituir [matemáticas] x = a \ sin ^ 2 t [/ matemáticas]; [matemática] ax = a \ cos ^ 2 t [/ matemática]; [matemáticas] dx = 2a \ sin t \ cos t dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {1} {x \ sqrt {ax-x ^ 2}} dx [/ matemáticas]

[math] \ displaystyle = \ int \ dfrac {2a \ sin t \ cos t} {a ^ 2 \ sin ^ 2 t \ sin t \ cos t} dt [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {2 \ csc ^ 2 t} {a} dt [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ dfrac {2 \ cot t} {a} + C [/ matemáticas]

[math] = \ boxed {- \ dfrac {2} {a} \ sqrt {\ dfrac {ax} {x}} + C} [/ math]

* A2A

[matemáticas] \ begin {align} I & = \ int \ dfrac {\ mathrm dx} {x \ sqrt {ax-x ^ 2}} \\ & = \ int \ dfrac {\ mathrm dx} {x ^ 2 \ sqrt {\ dfrac ax-1}} \\\ hline & \ text {Let} u = \ dfrac ax \ implica \ mathrm du = – \ dfrac a {x ^ 2} \ mathrm dx \\\ hline & = – \ dfrac1a \ int \ dfrac {\ mathrm du} {\ sqrt {u-1}} \\ & = – \ dfrac2a \ sqrt {u-1} + C \ qquad \ bigg [\ porque \ int \ dfrac {\ mathrm dx} {\ sqrt x} = 2 \ sqrt x + C \ bigg] \\ & = – \ dfrac2a \ sqrt {\ dfrac ax-1} + C \\ & = – \ dfrac2a \ sqrt {\ dfrac {ax} x} + C \\ & = – \ dfrac2a \ dfrac {\ sqrt {ax-x ^ 2}} {x} + C \\ & = \ bbox [2pt, borde: # 10f 2pt sólido] {\ bbox [#AFA, 10px] {- \ dfrac {2 \ sqrt {ax-x ^ 2}} {ax} + C}} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Pon x – a / 2 = a / 2 sen t. Obtiene una integral de 1 / (1 + sen t) ft multiplicada por 2 / a. Ahora multiplique num y denim por 1 – sen t. Obtiene una integral de ((sec t) ^ 2 – (sec t) (tan t)) ft. La integral de eso es tan t – sec t + c. Por lo tanto, la respuesta final es (2 / a) (tan t – sec t) + c donde t = arcsin (1 + 2x / a).