¿Es [math] \ mathbb {C} [/ math] igual a [math] \ mathbb {R} ^ {2} [/ math]?

Answer 1

No. El plano complejo es isomorfo a [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] pero no es igual a él, de lo contrario no nos molestaríamos en tener dos notaciones diferentes.

Puede parecer artificial establecer tales matices al principio, pero aparecen grandes diferencias cuando adoptas ciertos puntos de vista:

• [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] es un espacio vectorial real 2D. Tiene todas las propiedades de un grupo y puede definir un producto escalar (forma positiva simétrica bilineal definida).
• [math] \ mathbb {C} [/ math] es un espacio vectorial real 2-D o un espacio vectorial complejo 1-D, ¡e incluso un campo!

Pero esta diferencia en términos de estructuras algebraicas no es enorme en comparación con la diferencia significativa en el análisis.

En [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] tienes funciones diferenciables clásicas, pero en [math] \ mathbb {C} [/ math] tienes cosas como funciones holomórficas (que es una propiedad más fuerte).

Pero incluso sin tener en cuenta esas consideraciones, es matemáticamente incorrecto decir que [math] \ mathbb {C} [/ math] y [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] son iguales . Son simplemente topológica y dimensionalmente equivalentes.

Decir que eran iguales no sería diferente a decir que [math]] – \ pi, \ pi [= \ mathbb {R} [/ math] solo porque son homeomórficos, o que [math] \ mathbb {R} _1 [X] = \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] (el espacio vectorial de polinomios reales de grado menor o igual a [math] 1 [/ math]) solo porque tienen la misma dimensión.

Answer 2

Generalmente, hay una diferencia, desde una perspectiva geométrica, entre [math] \ mathbb {C} ^ n [/ math] y [math] \ mathbb {R} ^ {2n} [/ math] (o equivalentemente un espacio vectorial complejo y lo mismo tomado como un espacio vectorial real). Esa diferencia es que el primero tiene una operación adicional definida por “multiplicar un vector por [math] i [/ math]”.

Esto induce una rotación canónica de 90 grados en su “espacio vectorial real”: para cualquier vector [matemático] v [/ matemático], existe un vector canónico [matemático] iv [/ matemático] que es real-linealmente independiente (/ real-ortogonal) a su vector original. En una dimensión, esto es simplemente una elección de orientación (¡que sigue siendo una estructura adicional!), Pero en dimensiones más altas, es más que eso.

En el caso unidimensional que mencionas, hay propiedades algebraicas adicionales; a saber, puede multiplicar / dividir dos elementos de [math] \ mathbb {C} [/ math], mientras que no puede hacerlo (sin imposiciones adicionales) a dos elementos de [math] \ mathbb {R} ^ 2 [ /matemáticas]. En otras palabras, además de sus diferencias como espacios vectoriales, [math] \ mathbb {C} [/ math] es más que un espacio vectorial, mientras que [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] es, esencialmente (/ relevantemente), no.

[Descuido las diferencias analíticas entre los dos, porque la holomorficidad es una propiedad “adicional”, aunque razonable, que imponemos a funciones complejas (de lo contrario, “campos vectoriales en [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] ), y, en la medida en que es algo natural a considerar, su naturalidad se deriva directamente de la capacidad de dividir por números complejos, y no solo por su magnitud.]

Answer 3

Supongo que te refieres a [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math]. Como conjunto de puntos, como espacio vectorial real y como espacio métrico / topológico, son lo mismo. Todavía no hay igualdad, ya que [math] \ mathbb {C} [/ math] está dotado de una estructura adicional, a saber, la multiplicación compleja, que es responsable de la fuerza de [math] \ mathbb {C} [/ math]: complex análisis y el teorema fundamental del álgebra, y mucho más …

Answer 4

No. Intenta multiplicar dos números complejos, tendrás éxito. Pero si desea multiplicar vectores de R ^ 2, surgen varias preguntas. Entonces no pueden ser realmente ‘iguales’.

Sin embargo, puede representar C por R ^ 2, utilizando las coordenadas carthesianas estándar para las partes real e imaginaria. Esta es la representación gaussiana.

Answer 5

¿Como puede ser?

No pretendo tener la respuesta, sin embargo, me parece que hay algunos problemas muy claros con esta declaración.

Por un lado, para probar esto formalmente, necesitaría un argumento de subconjunto doble. Entonces te preguntas, ¿C está contenida dentro del espacio Real dos? ¿Cómo puede ser así? No hay una parte imaginaria en el espacio real dos, ya que estos se representan como

[math] (x, y) tal que x \ in \ mathbb {R} e y \ in \ mathbb {R}. [/matemáticas]

Ni x ni y contienen una parte imaginaria por construcción. Por lo tanto, veo algunos problemas serios al mostrar [math] \ mathbb {R} ^ 2 \ subseteq \ mathbb {C}. [/ Math]

Sin embargo, es un hecho que [math] \ mathbb {R} \ subset \ mathbb {C} [/ math]

Sin embargo, los dos son muy análogos. Ciertamente puedo ver por qué uno haría esta pregunta. De hecho, a menudo es útil pensar en [math] \ mathbb {C} [/ math] como una especie de proxy para dos espacios reales.

Por último, diré que el hecho de que estos conjuntos no sean iguales no significa que no haya una relación de equivalencia para unirlos. Sospecho (aunque no mostraré rigurosamente porque soy muy malo en álgebra abstracta) que los dos conjuntos son isomorfos.

Answer 6

No. La multiplicación de los vectores R2 tiene un valor escalar. La multiplicación de los puntos C da otro punto en C. Multiplicar aún más los vectores base consigo mismos en R2 da 1 no siempre. Cía

Answer 7

No, a menos que puedas multiplicar (0,1) por (0,1) y obtener (-1,0).