Dada una función [matemática] f: \ R \ to \ R [/ matemática] y diferenciable al menos una vez, si [matemática] f (x) [/ matemática] es par entonces es [matemática] f ‘(0) = 0 [/ math] y si [math] f ‘(x)> 0 \ forall x \ setminus \ {0 \} [/ math] y [math] f’ (0) = 0 [/ math] entonces puede [math] f (x) [/ math] no está estrictamente aumentando monotónicamente?

Answer 1

Esta pregunta está redactada muy torpemente. Creo que en realidad son dos preguntas:

Interpreto que tiene una función, [math] f [/ math], con las siguientes propiedades:

1. [matemáticas] f: \ R \ to \ R [/ matemáticas]
2. [math] f [/ math] es diferenciable en [math] \ R [/ math] al menos una vez.

Pregunta 1:

1. [matemáticas] f [/ matemáticas] es par, lo que significa que [matemáticas] f (x) = f (-x) [/ matemáticas]

Usted preguntó, es [matemáticas] f ‘(0) = 0 [/ matemáticas].

Porque la función es diferenciable, sí.

Pregunta 2:

1. [matemática] f ‘(x)> 0 [/ matemática], [matemática] \ forall x \ neq [/ matemática] 0.
2. [matemáticas] f ‘(0) = 0 [/ matemáticas]

Usted pregunta (que reformulé): ¿está [matemática] f (x) [/ matemática] estrictamente monotónicamente creciente?

No, porque esta función no puede existir. El problema es que las condiciones # 3 y # 5 no pueden ocurrir simultáneamente.

Si la función es par, entonces [math] f ‘(x) \ geq 0, \ forall x \ in \ R [/ math]

Esto implica que [matemáticas] f (-x) <f (x) [/ matemáticas].

Pero, como [math] f [/ math] es par, debe ser que [math] f (-x) = f (x) [/ math].

Estos son contradictorios, y tal [matemática] f [/ matemática] no existe.

Answer 2

Hay contradicciones en sus requisitos previos. Si [math] f (x) [/ math] es par, entonces [math] f ‘(x) [/ math] es impar. Entonces [math] \ forall x \ in \ mathbb R \ setminus \ {0 \}: f ‘(x)> 0 [/ math] es una contradicción en cuanto a cualquier función extraña [math] g (x) [/ math] el reclamo [math] g (-x) = – g (x) [/ math] es válido.

Answer 3

Creo que BD Ross lo tiene casi correcto en la interpretación de la pregunta. Dado que sus matemáticas y razonamiento son completamente sólidos, voy a copiar y pegar algunas de sus cosas (¡todos los créditos para él!) 🙂

Estoy de acuerdo: esta pregunta está redactada de manera muy extraña. Creo que en realidad son dos preguntas:

Interpreto que tiene una función, [math] f [/ math], con las siguientes propiedades:

1. [matemáticas] f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math]
2. [math] f [/ math] es diferenciable en [math] \ mathbb {R} [/ math] al menos una vez.

Pregunta 1:

Si [math] f [/ math] es par, lo que significa que [math] f (x) = f (−x) [/ math], ¿es [math] f ′ (0) = 0 [/ math]?

La respuesta es sí. Podemos probar eso mirando una [matemática] f ‘[/ matemática] y notando que debe ser extraña y continua.

Pregunta 2:

Si [matemática] f ′ (x)> 0 [/ matemática] [matemática] \ forall x \ neq 0 [/ matemática] y [matemática] f ′ (0) = 0 [/ matemática], es [matemática] f [ / matemáticas] estrictamente monotónicamente creciente?

De nuevo, la respuesta es sí. Podemos probar eso notando que

[matemáticas] f (b) – f (a) = \ int_ {a} ^ {b} f ‘(x) dx [/ matemáticas]

y que si [math] b> a [/ math] entonces en algún intervalo no vacío en [math] [a, b] [/ math] [math] f ‘[/ math] es estrictamente positivo.

Answer 4

No estoy seguro de su declaración del problema, corríjame si me equivoco

(i) f (x) es continua en todas partes,

(ii) f (x) es par

(iii) f ‘(x)> 0 para todo x excepto en x = 0, donde f’ (0) = 0

Su pregunta es: ¿aumenta f monotónicamente?

Avíseme si volví a formular su pregunta correctamente