Si [matemática] x [/ matemática] no es igual a [matemática] y [/ matemática], ¿puede [matemática] \ sin \ sqrt {x} [/ matemática] igual sin [matemática] \ sin \ sqrt {y} [/ matemáticas]?

Answer 1

Si. Hay muchos valores diferentes de [math] y [/ math] que satisfarán esto para cualquier valor dado de [math] x [/ math]. Infinitamente muchos valores diferentes, de hecho.

• [matemática] \ sin [/ matemática] es periódica : [matemática] \ sin (\ theta) = \ sin (\ theta + 2 \ pi n) [/ matemática] para cualquier [matemática] n \ in \ mathbb {Z} [/matemáticas].

Entonces, si establecemos [math] y = \ left (\ sqrt {x} + 2 \ pi \ right) ^ 2 [/ math], o [math] y = \ left (\ sqrt {x} + 4 \ pi \ right) ^ 2 [/ math], o [math] y = \ left (\ sqrt {x} + 6 \ pi \ right) ^ 2 [/ math], etc. , tendremos [math] \ sin (\ sqrt {y}) = \ sin (\ sqrt {x}) [/ math].

• [math] \ sin [/ math] también es simétrico , de izquierda a derecha, alrededor del punto [math] x = \ frac {\ pi} {2} [/ math] (o de hecho en cualquier otro punto, un múltiplo entero de [ matemática] 2 \ pi [/ matemática] mayor o menor que [matemática] \ frac {\ pi} {2} [/ matemática], debido a la propiedad periódica indicada anteriormente).

Entonces, si establecemos [math] y = \ left (\ pi – \ sqrt {x} \ right) ^ 2 [/ math], o [math] y = \ left (3 \ pi – \ sqrt {x} \ derecha) ^ 2 [/ matemáticas], o [matemáticas] y = \ izquierda (5 \ pi – \ sqrt {x} \ derecha) ^ 2 [/ matemáticas], etc. , tendremos [matemáticas] \ sin (\ sqrt {y}) = \ sin (\ sqrt {x}) [/ math].

En realidad, en este segundo caso, solo tendremos [math] \ sin (\ sqrt {y}) = \ sin (\ sqrt {x}) [/ math] cuando el múltiplo de [math] \ pi [/ math ] que usamos es mayor que [math] \ sqrt {x} [/ math]; esto puede no ser cierto para los primeros términos, pero será cierto para todos los términos (infinitos) después de eso.

Ejemplo 1 : si [math] x = \ frac {\ pi ^ 2} {16} [/ math], entonces la propiedad periódica de [math] \ sin [/ math] nos dice que podemos tener [math] y = \ frac {81 \ pi ^ 2} {16} [/ matemática], [matemática] \ frac {289 \ pi ^ 2} {16} [/ matemática], [matemática] \ frac {625 \ pi ^ 2} { 16} [/ math], etc. , y la propiedad simétrica de [math] \ sin [/ math] nos dice que podemos tener [math] y = \ frac {9 \ pi ^ 2} {16} [/ math] , [matemáticas] \ frac {121 \ pi ^ 2} {16} [/ matemáticas], [matemáticas] \ frac {361 \ pi ^ 2} {16} [/ matemáticas], etc.

Ejemplo 2 : si [matemática] x = 0 [/ matemática], entonces la propiedad periódica de [matemática] \ sin [/ matemática] nos dice que podemos tener [matemática] y = 4 \ pi ^ 2 [/ matemática], [matemática] 16 \ pi ^ 2 [/ matemática], [matemática] 36 \ pi ^ 2 [/ matemática], etc. , y la propiedad simétrica de [matemática] \ sin [/ matemática] nos dice que podemos tener [matemática ] y = \ pi ^ 2 [/ matemáticas], [matemáticas] 9 \ pi ^ 2 [/ matemáticas], [matemáticas] 25 \ pi ^ 2 [/ matemáticas], etc. En este caso, para cualquier [math] n \ in \ mathbb {Z}, n \ ge 1 [/ math] tenemos [math] \ sin (\ sqrt {n ^ 2 \ pi ^ 2}) = \ sin ( \ sqrt {0}) = \ sin (0) = 0 [/ math].

Ejemplo 3 : si [math] x = \ frac {\ pi ^ 2} {4} [/ math], entonces la propiedad periódica de [math] \ sin [/ math] nos dice que podemos tener [math] y = \ frac {25 \ pi ^ 2} {4} [/ matemáticas], [matemáticas] \ frac {81 \ pi ^ 2} {4} [/ matemáticas], [matemáticas] \ frac {169 \ pi ^ 2} { 4} [/ math], etc. , y la propiedad simétrica de [math] \ sin [/ math] nos dice que podemos tener [math] y = \ frac {\ pi ^ 2} {4} [/ math], [matemática] \ frac {25 \ pi ^ 2} {4} [/ matemática], [matemática] \ frac {81 \ pi ^ 2} {4} [/ matemática], etc. , aunque en este ejemplo en particular ya sabíamos sobre estas soluciones En este caso, para cualquier [math] n \ in \ mathbb {Z}, n \ ge 0 [/ math] tenemos [math] \ sin (\ sqrt {\ frac {(4n + 1) ^ 2 \ pi ^ 2} {4}}) = \ sin (\ sqrt {\ frac {\ pi ^ 2} {4}}) = \ sin (\ frac {\ pi} {2}) = 1 [/ math].

Answer 2

Si.

De hecho, si simplemente grafica esta ecuación, esta es la curva resultante de soluciones:

La línea que parece sobresalir del centro de la curva que tiene los ejes para las asíntotas es la línea [math] y = x [/ math], por lo que para todas las soluciones para [math] x [/ math] y [math ] y [/ math] que está buscando, tome cualquiera de los puntos a lo largo de la línea curva donde [math] y \ ne x [/ math].

Answer 3

Sí, puedes probar esto con un ejemplo

Suponga que x = [matemática] 4 \ pi ^ 2 [/ matemática] ey = [matemática] 0 [/ matemática].

Tenga en cuenta que x no es igual a y.

Ahora puede evaluar [math] sin (\ sqrt {x}) [/ math] = [math] sin (\ sqrt {4 \ pi ^ 2}) [/ math] que equivale a [math] 0 [/ math].

Ahora observe que [math] sin (\ sqrt {y}) [/ math] = [math] sin (\ sqrt {0}) [/ math] también es igual a [math] 0. [/ Math]

así demostramos que para x no igual a y, se puede establecer que

[matemática] sin (\ sqrt {4 \ pi ^ 2}) [/ matemática] = [matemática] sin (\ sqrt {0}) [/ matemática]

De este modo, se demuestra que [math] sin (\ sqrt {x}) = sin (\ sqrt {y}) [/ math]

Answer 4

En general, [math] \ sin a = \ sin b \ to a = b + 2k \ pi [/ math] o [math] a = (2k + 1) \ pi-b [/ math] para cualquier número entero [math ] k [/ matemáticas]; entonces, para [math] \ sin (\ sqrt x) [/ math] es igual a [math] \ sin (\ sqrt y), x [/ math] [math] \ ne y [/ math], todo lo que se requiere es para [math] \ sqrt x = \ sqrt y +2 k \ pi, k \ ne0, [/ math] o [math] \ sqrt x = (2k + 1) \ pi- \ sqrt y [/ math] para algún número entero [matemáticas] k [/ matemáticas]. La primera condición produce [matemáticas] x = y + 4k \ pi \ sqrt y + 4k ^ 2 \ pi ^ 2, k \ ne 0 [/ matemáticas], la segunda produce [matemáticas] x = y-2 (2k + 1 ) \ pi \ sqrt y + (2k + 1) ^ 2 \ pi ^ 2 [/ math]. La unión de los conjuntos de solución de estas dos ecuaciones da el conjunto completo de pares ordenados [matemática] (x [/ matemática] [matemática], y) [/ matemática] de modo que [matemática] \ sin \ sqrt x = \ sin \ sqrt y. [/ math]

Answer 5

Si .

Pueden ser iguales

Echa un vistazo a la gráfica de [math] \ large \ displaystyle \ sin x [/ math]

Repite su valor después de cada [math] \ large \ displaystyle 2 \ pi [/ math]

Por ej.

Deje [math] \ large \ displaystyle x = \ large \ displaystyle 0 [/ math]

y [math] \ large \ displaystyle y = \ large \ displaystyle {\ pi} ^ 2 [/ math]

[math] \ implica \ large \ displaystyle \ sin \ sqrt {x} = \ large \ displaystyle \ sin \ sqrt {0} = \ large \ displaystyle \ sin 0 = \ large \ displaystyle 0 [/ math]

y [matemáticas] \ large \ displaystyle \ sin \ sqrt {y} = \ large \ displaystyle \ sin \ sqrt {{\ pi} ^ 2} = \ large \ displaystyle \ sin \ pi = \ large \ displaystyle 0 [/ math ]

Por lo tanto, [math] \ boxed {\ large \ displaystyle \ sin \ sqrt {x} = \ large \ displaystyle \ sin \ sqrt {y}} [/ math]

mientras que [math] \ large \ displaystyle \ boxed {x \ neq \ large \ displaystyle y} [/ math]

PD: existen valores infinitos para [math] \ large \ displaystyle x [/ math] y [math] \ large \ displaystyle y [/ math] que satisfacen esta condición.

[matemática] {\ enorme {\ enorme {\ displaystyle \ ddot \ smile}}} [/ matemática]