La exponenciación es una operación no conmutativa. Pero x ^ y = y ^ x se cumple si x = 2, y = 4. La tetración también es una operación no conmutativa. ¿Cuáles son x e y, si x tetraited to y es igual a y tetraited a x?

Answer 1

Deje que [math] {^ {y} x} [/ math] y [math] t (x, y) [/ math] denotan la tetración de [math] x [/ math] por [math] y [/ math ] Claramente, [matemáticas] x = y [/ matemáticas] es una solución.

Cuando [math] x <y [/ math] son ​​enteros positivos,
[math] ^ {y} x = ^ {x} y \ Rightarrow x ^ {^ {y-1} x} = y ^ {^ {x-1} y} [/ math]. Suponiendo que [math] x [/ math] y [math] y [/ math] tienen factorizaciones primas [math] x = \ prod p_i ^ {d_i}, y = \ prod p_i ^ {e_i} [/ math], muestra [math] y [/ math] es un exponente racional de [math] x [/ math]. Entonces podemos tomar [matemática] x = a ^ b, y = a ^ c [/ matemática], donde [matemática] a, b, c [/ matemática] son ​​enteros positivos, [matemática] c> b [/ matemática] , y [matemáticas] a> 1 [/ matemáticas].

Ahora mostraremos [matemáticas] t (a ^ b, a ^ c)> t (a ^ c, a ^ b) [/ matemáticas]. Deje [math] d = cb [/ math]. El lado izquierdo es una torre con base [matemática] a ^ b [/ matemática] y longitud [matemática] a ^ c [/ matemática]. Dividamos eso en [matemática] a ^ b [/ matemática] bloques de longitud [matemática] a ^ d [/ matemática]. Es suficiente para mostrar que uno de estos bloques (con valor [math] t (a ^ b, a ^ d) [/ math]) es mayor que [math] a ^ c [/ math], porque tendremos el cadena de desigualdades: la torre es mayor que la torre con el bloque superior reemplazado por a ^ c, que es mayor que la torre con los dos bloques superiores reemplazados por a ^ c, y así sucesivamente. En el argumento anterior, también hemos utilizado la idea de que [matemáticas] a ^ {b ^ c}> (a ^ b) ^ c [/ matemáticas], para manipular la torre fuera del orden habitual de operaciones.

Ahora, [matemáticas] ([/ matemáticas] para [matemáticas] b, d> 1) [/ matemáticas]:
[matemática] a ^ c = a ^ {b + d} \ leq (a ^ b) ^ d <t (a ^ b, d) <t (a ^ b, a ^ d) [/ matemática] según se desee.

Si en cambio [matemática] b = 1 [/ matemática] o [matemática] c = b + 1 [/ matemática], estos corresponden a los casos [matemática] t (a, a ^ {c-1})> a ^ c [/ math] y [math] t (a ^ b, a)> a ^ {b + 1} [/ math] que son fáciles de probar.

Probablemente podamos extender este argumento al dominio [math] \ mathbb {Q}, [/ math] y desarrollar límites en las raíces, pero es un poco complicado.