¿Puedo resolver [matemáticas] 3 ^ {\ frac {4} {5}} [/ matemáticas] sin el uso de una calculadora?

Answer 1

Desea la quinta raíz de [matemáticas] 3 ^ 4 = 81 [/ matemáticas]. Puede aproximarlo razonablemente bien usando mi aproximación favorita [matemática] (1 + x) ^ a \ aprox 1 + ax [/ matemática] cuando [matemática] | ax | \ ll 1 [/ matemática].

Así es cómo:

[matemáticas] \ sqrt [5] {81} = \ left (2.5 ^ 5 \ cdot \ frac {81} {2.5 ^ 5} \ right) ^ {1/5} [/ math]

Ahora, [matemática] 2.5 = \ frac 52 [/ matemática] y [matemática] 5 ^ 5 = 3125 [/ matemática] mientras que [matemática] 2 ^ 5 = 32 [/ matemática]. Entonces:

[matemáticas] 2.5 ^ 5 = \ frac {3125} {32} = \ frac {3200-75} {32} = 100 – \ frac {64 + 11} {32} = 98- \ frac {11} {32} [/matemáticas]

[matemáticas] 2.5 ^ 5 \ aprox. 97 \ frac 23 [/ matemáticas]

Entonces:

[matemáticas] \ sqrt [5] {81} = 2.5 \ izquierda (\ frac {81} {97 \ frac 23} \ derecha) ^ {1/5} [/ matemáticas]

[matemática] \ sqrt [5] {81} = 2.5 \ izquierda (1- \ frac {16 \ frac 23} {97 \ frac 23} \ derecha) ^ {1/5} [/ matemática]

Y ahora vemos que podemos aplicar nuestra aproximación desde [matemáticas] 16 \ frac 23 \ cdot \ frac 15 \ ll 97 \ frac 23 [/ matemáticas].

[matemáticas] \ sqrt [5] {81} \ aprox 2.5 \ izquierda (1- \ frac 15 \ cdot \ frac {16 \ frac 23} {97 \ frac 23} \ right) [/ matemáticas]

Luego algo más de aritmética:

[matemática] \ sqrt [5] {81} \ aprox 2.5- \ frac 12 \ cdot \ frac {16 \ frac 23} {97 \ frac 23} [/ matemática]

[matemáticas] \ sqrt [5] {81} \ aprox 2.5- \ frac {8 \ frac 13} {97 \ frac 23} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt [5] {81} \ aprox 2.5- \ frac {25} {293} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt [5] {81} \ aprox 2.5- \ frac {25} {300} \ cdot \ frac {300} {293} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt [5] {81} \ aprox 2.5- \ frac {1} {12} \ cdot \ left (1+ \ frac 7 {293} \ right) [/ math]

Ahora [math] \ frac 7 {293} [/ math] está justo por encima de [math] \ frac 73 [/ math]%. Entonces

[matemáticas] \ sqrt [5] {81} \ aprox 2.5- \ frac {1} {12} \ cdot 1.0234 [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] \ sqrt [5] {81} \ aprox 2.5- \ frac {1} {3} \ cdot 0.256 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt [5] {81} \ aproximadamente 2.5- 0.086 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt [5] {81} \ aprox 2.41 [/ matemáticas]

Esta respuesta es correcta a dos decimales. El error relativo en nuestra aproximación (a través de la calculadora) resulta ser menor que [math] \ frac 3 {40} [/ math] del uno por ciento, lo cual es bastante bueno.

Answer 2

Si. Para cortar el tedio, supongo que has aprendido algunas constantes matemáticas, como log (2) = 0.3010, log (3) = 0.4771, log (7) = 0.8451 (es sorprendente cuánto puedes hacer con estos tres ) y log (e) = 0.4343. Entonces, de log (3) / log (e) obtienes ln (3) = 4771/4343 = 1.0986. Por lo tanto, 3 ^ (4/5) tiene un logaritmo natural 1.0986 * 4/5 = 0.8788.

Para obtener exp (x) a cuatro dígitos en x = 0.8788, tome los primeros seis términos 1 + 0.8788 + 0.8788 ^ 2/2 + 0.8788 ^ 3/6 + 0.8788 ^ 4/24 + 0.8788 ^ 5/120 + 0.8788 ^ 6 / 720 (por qué solo quedan seis términos como ejercicio de tarea). Esto es ahora solo un montón de pasos elementales (multiplicación, suma, división), dolorosos pero fáciles incluso sin una calculadora, veamos.

x ^ 2 = 0.7723, x ^ 3 = 0.6787, x ^ 4 = 0.5964, x ^ 5 = 0.5242, x ^ 6 = 0.4606, por lo que estamos obteniendo 2.4079 (siempre lleva un dígito más) que se redondea a 2.408, estos son los cuatro dígitos en los que puede confiar. La respuesta real es 2.40822 .., pero, por supuesto, tendría que recordar log (3) a más dígitos para calcularlo de esta manera, y mantener más términos en la serie de Taylor.

Antes del advenimiento de las calculadoras, las personas tenían tablas de logaritmos de 7 dígitos y calculaban 10 ^ (0.4771213 * 0.8) = 2.408225 con dos búsquedas, una para el registro (3) y otra para el antilog de .3816970. Rara es la aplicación práctica (incluso en el diseño de aviones y reactores nucleares) donde seis dígitos son insuficientes.

Answer 3

Generalmente es [matemáticas] \ sqrt [5] {81} [/ matemáticas]

Para calcularlo aproximadamente, puede usar el método de Newton: [matemáticas] x_ {n + 1} = x_n- \ frac {f (x_n)} {f ‘(x_n)} = x_n- \ frac {x_n ^ 5-81} { 5x_n ^ 4} = \ frac {4x_n ^ 5 + 81} {5x_n ^ 4} [/ math]

Answer 4

Habiendo memorizado [math] \ log_ {10} (2) = 0.301 [/ math] & [math] \ log_ {10} (3) = 0.477 [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {4} {5} \ log_ {10} (3) \ aprox. 0,39 = 3 \ cdot 0,13 [/ matemáticas].

[matemáticas] 0.13 \ aproximadamente 0.6 – 0.477 = \ log_ {10} \ left (\ displaystyle \ frac {4} {3} \ right) [/ math].

Entonces, [matemáticas] \ displaystyle 3 ^ {\ frac {4} {3}} \ aprox \ left (\ frac {4} {3} \ right) ^ 3 = \ frac {64} {27} = 2 \ frac {10} {27} [/ matemáticas].

Answer 5

Es [matemáticas] \ sqrt [5] {81} \ aprox 2.408 [/ matemáticas]

Usé métodos simples de usar la tabla de registro y la tabla antilog

Primer paso: tomar el registro

[matemáticas] \ dfrac {1} {5} \ log_2 (81) = \ dfrac {1.908} {5} = 0.381 [/ matemáticas]

Segundo paso: tomar antilog

[matemáticas] \ text {Al} (0.381) = 10 ^ {(0.3816)} \ aprox 2.408 [/ matemáticas]

Answer 6

Si tu puedes…..

Utilice asumir la respuesta X … ..

Aplicar registro en ambos lados …

Encuentra el registro 3 usando la tabla …

Multiplícalo con 4/5….

Y encuentre el antilog para la resultante ……

Answer 7

Papel para bolígrafo y tablas de registro. Encuentra 3 en la tabla de registro. Multiplique eso por 4/5. Busque este valor en la tabla de registro cuyo valor de registro es este número. Y esa es tu respuesta. Debe estar entre 2 y 3. Más cerca de 2. Será la quinta raíz de 81.

Answer 8

Se puede atacar 3 ^ (4/5) tomando la quinta raíz de 3, luego multiplicando los cuatro factores de esa cantidad, o elevando 3 a la cuarta potencia, y luego encontrando la quinta raíz de esa cantidad.

[3 ^ 4] ^ (1/5) = (3 x 3 x 3 x 3} ^ (1/5) = 81 ^ (1/5) o la quinta raíz de 81.

Si 81 tuviera 5 factores idénticos, solo uno de esos factores sería la quinta raíz. 81 no tiene 5 factores enteros para una fácil resolución sin una calculadora.

Answer 9

3 ^ (4/5) = x

3 = x ^ (5/4)

x ^ (5/4) – 3 = 0

Ahora use el método de Newton: Wikipedia (también llamado método Newton Raphson). Necesita cálculos muy básicos. Encontrará rápidamente x a cualquier cantidad de cifras significativas que necesite.

Answer 10

Sí, publique esta pregunta en quora.

Answer 11

Depende de qué tipo de “solución” espera. En lo que a mí respecta, la quinta raíz de 81 está tan resuelta como puede ser. 🙂

Answer 12

3 ^ 4 = 81

(2 + 0.4) ^ 5 = 32 + 5 * 16 * 0.4 + 10 * 8 * 0.4² + 10 * 0.4³ * 4 + 2 * 5 * 0.4 * ^ 4 + 0.4 ^ 5

≈32 + 32 + 12.8 + 2.56 + 0.256≈79