¿[Math] \ sum \ frac {1} {p_n ^ {\ log \ log n}} [/ math] converge o diverge si [math] p_n \ rightarrow \ infty [/ math]?

Depende de qué tan rápido [math] p_n \ rightarrow \ infty [/ math].

Primero una nota técnica: Deberíamos comenzar a sumar esta serie en [math] n = 2 [/ math], ya que [math] \ log \ log 1 [/ math] no está definido. Segundo, tenga en cuenta que para un n fijo, la función [math] p ^ {\ log \ log n} [/ math] está aumentando en [math] p [/ math] y puede tomar cualquier valor en [math] ( 0, \ infty) [/ math] para el positivo positivo [math] p_n [/ math].

Entonces, existe una secuencia [matemática] p_n [/ matemática] tal que [matemática] p_n ^ {\ log \ log n} = 2 ^ n [/ matemática]. Esto haría que toda la expresión sea igual a una serie geométrica, que converge. Puede que no sea el caso de que esta [matemática] p_n [/ matemática] diverja hasta el infinito, pero entonces debe existir alguna secuencia [matemática] q_n [/ matemática] tal que [matemática] q_n [/ matemática] diverge al infinito y [ matemática] q_n \ geq p_n [/ matemática] para todos [matemática] n [/ matemática]. * Esto significa [matemática] 1 / q_n ^ {\ log \ log n} \ leq 1 / p_n ^ {\ log \ log n } [/ math] y, por lo tanto, [math] \ sum [/ math] [math] 1 / q_n ^ {\ log \ log n} [/ math] es finito, porque cada término también está limitado a continuación por cero.

¿ Tiene que ser el caso de que esta secuencia converja? No. Tomemos:

[matemáticas] \ displaystyle p_n = n ^ {1 / (\ log \ log n)} [/ matemáticas]

Y resulta que esto nos da [math] p_n ^ {\ log \ log n} = n [/ math] para todos [math] n, [/ math] haciendo [math] 1 / p_n [/ math] un armónico serie que diverge. Wolfram me asegura que, efectivamente, es el caso de que [matemáticas] n ^ {1 / (\ log \ log n)} \ rightarrow \ infty, [/ matemáticas] aunque es tarde en la noche y no he podido demostrarlo yo mismo.


* En particular, si [math] p_n \ not \ rightarrow \ infty [/ math] entonces podemos tomar [math] q_n = n + \ sup p_n [/ math].

De hecho, tienes que comenzar con n> 1.

Más útil, debe comenzar con log log n> = 2.

Luego, la cola restante de la serie está dominada por la suma de los recíprocos de los cuadrados de los números primos. Esto a su vez está dominado por la suma de los recíprocos de los cuadrados de los enteros positivos, que ya se sabe que convergen.