Cómo encontrar el límite: – [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ dfrac {\ sin \ left (\ pi \ cos ^ 2x \ right)} {x ^ 2}

Answer 1

Analicemos el límite primero. Como x tiende a 0, el numerador tiende a [math] sin [/ math] [math] \ pi [/ math] o 0 y el denominador también tiende a 0.

Ahora, [math] cos ^ 2 x [/ math] puede escribirse como [math] 1-sin ^ 2 x [/ math] para establecer el límite [math] \ lim_ {x \ to0} \ dfrac {sin (\ pi- \ pi sin ^ 2 x)} {x ^ 2} = \ lim_ {x \ to0} \ dfrac {sin (\ pi sin ^ 2 x)} {x ^ 2} [/ matemáticas]. Multiplicando y dividiendo el límite por [matemática] \ pi sin ^ 2 x [/ matemática], obtenemos [matemática] \ lim_ {x \ to0} \ dfrac {sin (\ pi sin ^ 2 x)} {\ pi sin ^ 2 x} \ dfrac {\ pi sin ^ 2 x} {x ^ 2} = \ lim_ {x \ to0} \ pi \ dfrac {sin (\ pi sin ^ 2 x)} {\ pi sin ^ 2 x} ( sen x / x) ^ 2 [/ matemáticas].

Ahora si x tiende a cero, (sen x) / x tiende a 1.

Por lo tanto, [math] \ dfrac {sin (\ pi sin ^ 2 x)} {\ pi sin ^ 2 x} [/ math] y [math] \ dfrac {sinx} {x} [/ math] tiende a 1 que el límite se convierte en [matemáticas] \ lim_ {x \ to0} \ pi (1) (1) = \ pi [/ matemáticas]

Entonces la respuesta correcta se convierte en (B)

Answer 2

Aquí, podemos escribir [math] cos ^ 2 (x) [/ math] como [math] 1 – sin ^ 2 (x) [/ math]:

Entonces, la función se convierte en [matemáticas] lim ^ {x–> 0} sin (π – πsin ^ 2 (x)) / (x ^ 2) [/ matemáticas]

que se puede escribir como [math] lim ^ {x–> 0} sin (πsin ^ 2 (x)) / (x ^ 2) [/ math]

Ahora, multiplique y divida la expresión anterior por [math] πsin ^ 2 (x) [/ math]:

Entonces, obtenemos:

[matemáticas] lim ^ {x-> 0} sin (πsin ^ 2 (x)) * πsin ^ 2 (x) / (x ^ 2) * πsin ^ 2 (x) [/ math]

[matemáticas] lim ^ {x-> 0} (sin (πsin ^ 2 (x)) / πsin ^ 2 (x)) * (πsin ^ 2 (x) / (x ^ 2) [/ math]

[matemáticas] lim ^ {x-> 0} (sin (πsin ^ 2 (x)) / πsin ^ 2 (x)) * (lim ^ {x-> 0} (πsin ^ 2 (x) / (x ^ 2))) [/ matemáticas]

Ahora desde, [matemáticas] lim ^ {x-> 0} sin (ka) / a = k [/ matemáticas]

Por lo tanto, al resolver la expresión anterior obtenemos:

[matemáticas] lim ^ {x-> 0} (sin (πsin ^ 2 (x)) / πsin ^ 2 (x)) = 1 [/ math]

[matemáticas] lim ^ {x-> 0} πsin ^ 2 (x) / (x ^ 2) = π [/ matemáticas] [matemáticas] lim ^ {x-> 0} sin ^ 2 (x) / (x ^ 2) = π [/ matemáticas]

Entonces, su respuesta será [matemáticas] π [/ matemáticas].

Espero que esto haya sido útil

Por favor pregunte en caso de dudas.

Saludos.

Answer 3

Las dos respuestas anteriores son muy apreciables, reducen el esfuerzo y estoy interesado en resolver el problema de una manera diferente.

• También se puede abordar mediante el uso de la REGLA DEL LHÔPITAL.
• Es un método en el que el numerador y el denominador se diferencian por separado antes de aplicar los límites.
• Si el resultado aún no está definido, el proceso se repite hasta que se define el límite.

• Las respuestas arrojan el mismo valor que los otros dos métodos.

Answer 4

Excelente respuesta de Rohan Ganguly, solo estoy agregando mis dos centavos.

[matemáticas] \ begin {align} L & = \ lim_ \ limits {x \ to0} \ dfrac {\ sin (\ pi \ cos ^ 2 x)} {x ^ 2} \\ & = \ lim_ \ limits {x \ a 0} \ dfrac {\ sin (\ pi- \ pi \ sin ^ 2 x)} {x ^ 2}, \ qquad [\ porque \ cos ^ 2x = 1- \ sin ^ 2x] \\ & = \ lim_ \ limita {x \ a 0} \ dfrac {\ sin (\ pi- \ pi x ^ 2)} {x ^ 2}, \ qquad [\ because \ text {For} x \ approx 0, \ sin x \ approx \ tan x \ approx x] \\ & = \ lim_ \ limits {x \ to0} \ dfrac {\ sin (\ pi x ^ 2)} {x ^ 2}, \ qquad \ qquad [\ porque \ sin (\ pi- \ theta) = \ sin \ theta] \\ & = \ lim_ \ limits {x \ a 0} \ dfrac {\ pi x ^ 2} {x ^ 2} \\ & = \ pi \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Answer 5

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ dfrac {\ sin \ left (\ pi \ cos ^ 2x \ right)} {x ^ 2} [/ math]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ dfrac {\ sin \ left (\ pi- \ pi \ cos ^ 2x \ right)} {\ left (\ pi- \ pi \ cos ^ 2x \ right )} \ times \ dfrac {\ left (\ pi- \ pi \ cos ^ 2x \ right)} {x ^ 2} \ quad \ left [\ text {Using:} \ sin (\ pi- \ theta) = \ sin \ theta \ right] [/ math]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ dfrac {\ pi (1- \ cos ^ 2x)} {x ^ 2} \ quad \ left [\ text {Using:} \ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to0} \ dfrac {\ sin \ theta} {\ theta} = 1 \ right] [/ math]

[matemáticas] \ implica \ pi \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ dfrac {\ sin ^ 2x} {x ^ 2} = \ boxed {\ boxed {\ pi}} [/ math]

Answer 6

si
Use la regla de L-Hospital.

Answer 7

Puedes encontrarlo usando la regla de L’Hopital .

Answer 8

-pie es la respuesta correcta.

Primero aplique la regla del hospital: diferencie solo una vez, luego separe el límite en forma de producto y luego ponga x-0