Cómo resolver [math] \ sum _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ dfrac {\ sin ^ 33 ^ k} {3 ^ k} [/ math]

Answer 1

Fórmulas de triple ángulo …

[matemáticas] \ displaystyle \ sin (3x) = 3 \ sin (x) – 4 \ sin ^ 3 (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica 4 \ sin ^ 3 (x) = 3 \ sin (x) – \ sin (3x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ sin ^ 3 (x) = \ frac {1} {4} (3 \ sin (x) – \ sin (3x)) [/ matemáticas]

Ahora, aplique a la suma, de la siguiente manera:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum _ {- \ infty} ^ \ infty \ frac {\ sin ^ 3 (3 ^ k)} {3 ^ k} = \ sum _ {- \ infty} ^ {- 1} \ frac {\ sin ^ 3 (3 ^ k)} {3 ^ k} + \ frac {\ sin ^ 3 (3 ^ 0)} {3 ^ 0} + \ sum_ {1} ^ \ infty \ frac {\ sin ^ 3 ( 3 ^ k)} {3 ^ k} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {1} ^ \ infty \ frac {\ sin ^ 3 (3 ^ k)} {3 ^ k} = \ frac {1} {4} \ sum_ {1} ^ \ infty \ frac {3 \ sin (3 ^ k) – \ sin (3 (3 ^ k))} {3 ^ k} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {4} \ sum_ {1} ^ \ infty \ frac {\ sin (3 ^ k)} {3 ^ {k-1}} – \ frac {3 ^ {k +1}} {3 ^ k} [/ matemáticas]

Esta es una serie telescópica, por lo que solo nos interesa el primer término (k = 1) y el término límite (k va al infinito):

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {4} (\ frac {\ sin (3)} {3 ^ {1-1}} – \ lim_ {k \ rightarrow \ infty} \ frac {\ sin (3 ^ {k + 1})} {3 ^ k}) = \ frac {\ sin (3)} {4} [/ matemáticas]

Aquí, la función seno está limitada, pero el denominador crece rápidamente, por lo que el límite es cero. La otra suma se puede resolver de manera similar:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum _ {- \ infty} ^ {- 1} \ frac {\ sin ^ 3 (3 ^ k)} {3 ^ k} = \ frac {1} {4} \ sum _ {- \ infty } ^ {- 1} \ frac {\ sin (3 ^ k)} {3 ^ {k-1}} – \ frac {\ sin (3 ^ {k + 1})} {3 ^ k} [/ matemáticas ]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {4} (\ lim_ {k \ rightarrow – \ infty} \ frac {\ sin (3 ^ {k})} {3 ^ {k-1}} – \ frac {\ sin (3 ^ {- 1 + 1}} {3 ^ -1}) = \ frac {3} {4} – \ frac {\ sin (1)} {4} [/ matemáticas]

Aquí usamos

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {k \ rightarrow – \ infty} 3 ^ {1-k} \ sin (3 ^ {k}) = 3 \ lim_ {k \ rightarrow – \ infty} 3 ^ {- k} \ sin (3 ^ {k}) = 3 [/ matemáticas]

no cero como el límite anterior. Por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle \ sum _ {- \ infty} ^ \ infty \ frac {\ sin ^ 3 (3 ^ k)} {3 ^ k} = \ frac {3} {4} – \ frac {3 \ sin ( 1)} {4} + \ sin ^ 3 (1) + \ frac {\ sin (3)} {4} = \ frac {3} {4} [/ matemáticas]

que no coincide con la cuadratura realizada por Wolfram Alpha! Sin embargo, si usa Wolfram Alpha para sumar de [matemáticas] – \ infty [/ matemáticas] a [matemáticas] -1 [/ matemáticas], más el término cero, más la suma de [matemáticas] 1 [/ matemáticas] a [ math] \ infty [/ math], todo calculado individualmente, ¡entonces funciona!

Answer 2

Este es nuevamente otro problema en la serie Telescoping.

Recordar la identidad

[matemáticas] \ sin 3x = 3 \ sen x – 4 \ sin ^ 3x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ sin ^ 3x = \ dfrac {3 \ sin x – \ sin3x} {4} [/ matemáticas]

Para [matemáticas] x = 3 ^ k [/ matemáticas] tenemos,

[matemáticas] \ sin ^ 3 (3 ^ k) = \ dfrac {3 \ sin (3 ^ k) – \ sin (3 \ cdot3 ^ k)} {4} [/ matemáticas]

Y entonces nuestra suma se convierte en:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ dfrac {\ sin ^ 33 ^ k} {3 ^ k} = \ lim_ {y \ to \ infty} \ dfrac {1} {4} \ underbrace {\ sum _ {- y} ^ {y} \ dfrac {\ sin (3 ^ k)} {3 ^ {k-1}} – \ dfrac {\ sin (3 ^ {k + 1})} { 3 ^ k}} _ {\ text {Telescopes}} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ dfrac {1} {4} \ left [\ lim_ {y \ to \ infty} \ dfrac {\ sin (3 ^ {- y})} {3 ^ {- y-1}} – \ lim_ {y \ to \ infty} \ dfrac {\ sin (3 ^ {y + 1})} {3 ^ {y}} \ right] [/ math]

Aplicando la regla de L’Hospital para el primer límite que tenemos,

[matemáticas] \ dfrac {1} {4} \ cdot \ displaystyle \ lim_ {y \ to \ infty} \ dfrac {3 \ cos (3 ^ {- y}) 3 ^ {- y} \ ln 3} {3 ^ {- y} \ ln3} [/ math]

[math] = \ boxed {\ dfrac {3} {4}} [/ math]

Answer 3

Podríamos usar la identidad

[matemáticas] \ sin ^ 3 (x) = \ displaystyle \ frac {3 \ sin (x) – \ sin (3x)} {4} [/ matemáticas].

Entonces

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac {\ sin ^ 3 (3 ^ k)} {3 ^ k} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ frac {1} {4} \ sum_ {k = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac {3 \ sin (3 ^ k) – \ sin (3 ^ {k + 1 })} {3 ^ k} [/ matemáticas].

Llamemos

[matemáticas] a_k = \ displaystyle \ frac {\ sin (3 ^ k)} {3 ^ {k-1}} [/ matemáticas].

La serie es

[matemática] S = \ displaystyle \ frac {1} {4} \ sum_ {k = – \ infty} ^ {+ \ infty} (a_k-a_ {k + 1}) [/ math].

Más precisamente,

[matemáticas] \ displaystyle S = \ lim_ {k_1 \ to- \ infty} \ lim_ {k_2 \ to + \ infty} \ frac {1} {4} \ sum_ {k = k_1} ^ {k_2} (a_k-a_ { k + 1}) [/ matemáticas].

La suma es telescópica y su valor es

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = k_1} ^ {k_2} (a_k-a_ {k + 1}) = a_ {k_1} -a_ {k_2 + 1}. [/ math]

El límite [matemáticas] a_ {k_2 + 1} [/ matemáticas] es claramente [matemáticas] 0 [/ matemáticas].

Miremos al otro con cuidado.

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {k_1 \ to- \ infty} \ frac {\ sin (3 ^ {k_1})} {3 ^ {k_1-1}} = \ lim_ {k_1 \ to- \ infty} \ frac {\ sin (3 ^ {k_1})} {3 ^ {k_1}} \ frac {3 ^ {k_1}} {3 ^ {k_1-1}} = 3 [/ matemáticas].

porque [matemática] 3 ^ {k_1} \ a 0 [/ matemática] y [matemática] \ lim_ {x \ to0} \ sin (x) / x = 1 [/ matemática].

Parece que el valor de la suma [matemática] S [/ matemática] es [matemática] \ frac {3} {4} [/ matemática].