Sea [math] A [/ math] una matriz [math] 2 \ times 2 [/ math]. ¿Cómo encuentras [matemáticas] A ^ n [/ matemáticas]?

Answer 1

Hay varias formas de hacerlo.

Obviamente, existe el método de fuerza bruta, donde multiplicas A por sí mismo varias veces: [matemáticas] A ^ n = AAAA … [/ matemáticas].

Pero hay algunas maneras de hacer esto más fácil. Si A es diagonalizable complejo, podemos expresar A como el producto de una matriz diagonal (D) y dos matrices de conversión de base (P):

[matemáticas] A = PDP ^ {- 1} [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] A ^ {n} = PD ^ {n} P ^ {- 1} [/ matemáticas]. Como D es diagonal, [matemática] D ^ n [/ matemática] se compone de las entradas en la diagonal de D elevada a la enésima potencia. Esto funciona para poderes no enteros, de hecho.

Este es un caso especial de exponenciar la Forma Normal de Jordan; siempre podemos descomponer A en una matriz diagonal de bloque (J) y dos matrices de conversión de base invertibles (C):

[matemáticas] A = CJC ^ {- 1} [/ matemáticas]. Exponer a J es más difícil, porque puede tener 1s en la súper diagonal (la diagonal por encima de la diagonal principal), pero aún es más fácil porque tiene muchos ceros. Como antes, [matemáticas] A = CJ ^ {n} C ^ {- 1} [/ matemáticas].

Entonces se puede definir [matemáticas] A ^ {p} = e ^ {p \ ln A} [/ matemáticas] con la matriz exponencial y el logaritmo para potencias no enteras.

Existen varios métodos para evaluar un logaritmo de una matriz no diagonalizable (preferiblemente nilpotente), pero son algo complicados (e implican encontrar los logaritmos de los bloques diagonales en el JNF).

Puedes ver el logaritmo de una matriz – Wikipedia para más detalles.

Answer 2

Depende.

Si [math] n = 0 [/ math], entonces [math] A ^ 0 [/ math] es la matriz de identidad [math] 2 \ times 2 [/ math].

Si [math] n [/ math] es un entero positivo, entonces, como dijo la respuesta de Sridhar Ramesh, evalúe [math] A \, A \, A \ ldots A [/ math], donde el producto tiene [math] n [ / math] instancias de la matriz [math] A [/ math].

Si [math] n = -1 [/ math], entonces [math] A ^ {- 1} [/ math] es el inverso de la matriz [math] A [/ math]. (Desafortunadamente, dependiendo de su matriz [matemática] A [/ matemática], esto puede no existir).

Si [math] n [/ math] es un entero negativo, entonces evalúe [math] A ^ {- 1} A ^ {- 1} A ^ {- 1} \ ldots A ^ {- 1} [/ math] (con [math] -n [/ math] [math] A ^ {- 1} [/ math] ‘s), o el inverso de la matriz [math] A \, A \, A \ ldots A [/ math ] (que tiene [math] -n [/ math] [math] A [/ math] ‘s).

Si [math] n [/ math] no es un número entero, entonces las cosas se ponen mucho más complicadas. Recomiendo diagonalizar su matriz en este caso, como en la respuesta de Dimitri Assumpção Scripnic.

Answer 3

Lo haces diagonalizándolo.

Para hacer eso, primero debe encontrar los valores propios y los vectores propios de la matriz.

Los valores propios serán las raíces del polinomio [math] det (A- \ lambda I) [/ math], donde [math] \ lambda [/ math] son ​​los valores propios y I es la matriz de identidad.

Habrá tres escenarios posibles:

1. Hay dos valores propios reales distintos.
2. Hay dos valores propios reales iguales.
3. Hay dos valores propios complejos conjugados.

En el primer caso, puede diagonalizarlo fácilmente. Si D es una matriz diagonal con los dos valores propios como elementos diagonales, y P es la matriz donde cada columna es el vector propio correspondiente (puede encontrar cada vector propio resolviendo v en [matemática] Av = \ lambda v [/ matemática] ), luego

[matemáticas] A = PDP ^ {- 1} [/ matemáticas]

y entonces

[matemática] A ^ n = [/ matemática] [matemática] PD ^ nP [/ matemática] [matemática] ^ {- 1} [/ matemática]

Dónde obtener [matemáticas] D ^ n [/ matemáticas] simplemente debe elevar cada valor propio a la potencia de n.

En el segundo caso, sin embargo, A no será similar a una matriz diagonal. En cambio, tendrás que encontrar que es la forma normal de Jordan.

En el tercer caso, A también tomará un formato diferente una vez simplificado.

Si lo solicita, puedo ampliar esta respuesta, fue superficial porque no conozco sus necesidades ni el alcance de esta respuesta. Pero si alguien está interesado, me complacerá desarrollar esta respuesta de manera más extensa y completa con toda la teoría.

Answer 4

Multiplique A por sí mismo repetidamente hasta llegar a A ^ n. Puede acelerar esto mediante el uso de la cuadratura repetida (por ejemplo, para calcular A ^ 10, debe cuadrar A para obtener A ^ 2, luego cuadrar esto para obtener A ^ 4, luego cuadrar esto para obtener A ^ 8, y finalmente multiplique A ^ 8 por A ^ 2 previamente determinado para obtener A ^ 10).

Si hay algo que se siente mal acerca de este enfoque, o si no responde a lo que realmente estaba llegando, háganos saber a qué se refería realmente y qué tipo de respuesta sería aceptable, y podemos enfocarnos ese. Pero por lo demás … es así de fácil. A ^ n es solo el resultado de multiplicar n muchas copias de A, y puede calcularlo efectivamente de la misma manera que calcularía efectivamente las exponenciaciones en un contexto más familiar.

Answer 5

Podrías diagonalizar la matriz, entonces A ^ n sería muy simple. O para valores más bajos de n, simplemente podría multiplicar las matrices una y otra vez.