Cómo demostrar que el límite a medida que x se acerca a 3 de x ^ 2 es 9 usando la definición epsilon-delta

Answer 1

Demuestre que [matemáticas] \ lim_ \ limita {x \ a 3} x ^ 2 = 9 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Prueba:

Deje [math] \ varepsilon> 0 [/ math] dado. Estamos obligados a encontrar un [math] \ delta> 0 [/ math] tal que

[matemáticas] \ begin {align} | x ^ 2–9 | <\ varepsilon & \ Longleftrightarrow 0 <| x-3 | <\ delta \\ | x + 3 || x-3 | <\ varepsilon & \ Longleftrightarrow0 <| x-3 | <\ delta \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Deje [math] \ delta = 1 [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} | x-3 | & <1 \\ – 1 <x-3 & <1 \\ – 1 + 6 <x-3 + 6 & <1 + 6 \\ 5 <x + 3 & < 7 \\ | x + 3 | & <7 \ end {align} \\\ tag * {} [/ math]

Establecer esto en el cálculo anterior produce …

[matemáticas] \ begin {align} | x + 3 || x-3 | <\ varepsilon & \ Longleftrightarrow0 <| x-3 | <\ delta \\ 7 | x-3 | <\ varepsilon & \ Longleftrightarrow0 <| x-3 | <\ delta \\ | x-3 | <\ dfrac \ varepsilon7 & \ Longleftrightarrow0 <| x-3 | <\ delta \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Elegimos [math] \ delta = \ min \ left \ {1, \ dfrac \ varepsilon7 \ right \} \ tag * {} [/ math]

Ahora, trabajemos al revés …

[matemáticas] \ begin {array} {c | c} | x ^ 2-9 | = | (x + 3) (x-3) | & \ delta \ le1 \\\ qquad \ quad \ qquad <| x + 3 || x-3 | & | x + 3 | <7 \\\ qquad \ qquad <7 \ cdot \ left (\ dfrac \ varepsilon7 \ right) = \ varepsilon & | x-3 | <\ delta = \ dfrac \ varepsilon7 \ end {array} \ tag * {} [/ math]

QED

Answer 2