¿Qué es una forma de función cuadrática?

Answer 1

Mi querido amigo. Una función cuadrática es una de las formas f (x) = ax2 + bx + c , donde a , byc son números con un valor no igual a cero.

La gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola . Las parábolas pueden abrirse hacia arriba o hacia abajo y varían en “ancho” o “inclinación”, pero todas tienen la misma forma básica de “U”. La siguiente imagen muestra tres gráficos, y todos son parábolas.

Todas las parábolas son simétricas con respecto a una línea llamada eje de simetría . Una parábola corta su eje de simetría en un punto llamado vértice de la parábola.

Sabes que dos puntos determinan una línea. Esto significa que si se le dan dos puntos en el plano, entonces hay una y solo una línea que contiene ambos puntos. Se puede hacer una afirmación similar sobre puntos y funciones cuadráticas.

Dados tres puntos en el plano que tienen primeras coordenadas diferentes y no se encuentran en una línea, hay exactamente una función cuadrática f cuya gráfica contiene los tres puntos. El applet a continuación ilustra este hecho. El gráfico contiene tres puntos y una parábola que pasa por los tres. La función correspondiente se muestra en el cuadro de texto debajo del gráfico. Si arrastra alguno de los puntos, la función y la parábola se actualizan.

Muchas funciones cuadráticas se pueden graficar fácilmente a mano usando las técnicas de estiramiento / encogimiento y desplazamiento (traducción) de la parábola y = x. Espero que haya ayudado POR FAVOR hazme feliz presionando el botón de seguir.

Answer 2

La ecuación cuadrática general es

[matemáticas] \ displaystyle ax ^ 2 + bx + c = 0 \ tag {1} [/ matemáticas]

Aquí [math] x [/ math] representa un desconocido, mientras que [math] a, b, [/ math] y [math] c [/ math] son ​​constantes con [math] a \ neq0 [/ math].

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Método 1 :

Larry Hoehn en 1975, completar el cuadrado se puede lograr mediante una secuencia diferente que conduce a una secuencia más simple de términos intermedios: (1) multiplique cada lado por [matemáticas] 4a [/ matemáticas], (2) reorganice, (3) luego agregar [matemáticas] b ^ 2 [/ matemáticas].

En otras palabras, la fórmula cuadrática se puede derivar de la siguiente manera:

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} ax ^ 2 + bx + c & = 0 \\ 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac & = 0 \\ 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + b ^ 2 & = b ^ 2-4ac \\ (2ax + b) ^ 2 & = b ^ 2-4ac \\ 2ax + b & = \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac} \\ 2ax & = -b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac} \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Dividiendo por [matemáticas] 2a [/ matemáticas], obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} \ tag * {} [/ matemáticas]

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Método 2:

El matemático Sridhar Acharya también resolvió la ecuación.

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} ax ^ 2 + bx & = -c \\ x ^ 2 + \ frac bax & = – \ frac ca \\ x ^ 2 + \ frac bax + \ left (\ frac b {2a} \ right) ^ 2 & = \ left (\ frac b {2a} \ right) ^ 2- \ frac ca \\\ left (x + \ frac ba \ right) ^ 2 & = \ frac {b ^ 2 } {4a ^ 2} – \ frac ca \\ x + \ frac ba & = \ pm \ sqrt {\ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} – \ frac ca} \ end {align *} \ tag * { }[/matemáticas]

Aislando [math] x [/ math], obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} \ tag * {} [/ matemáticas]

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Método 3:

[matemáticas] \ displaystyle ax ^ 2 + bx + c = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

vamos, las raíces de la cuadrática son [matemáticas] \ alpha [/ matemáticas] y [matemáticas] \ beta [/ matemáticas].

Entonces,

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} & (x- \ alpha) (x- \ beta) = 0 \\ & \ implica x ^ 2 – (\ alpha + \ beta) x + \ alpha \ beta = 0 \ end {alinear *} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Comparando ambas ecuaciones, [math] \ alpha + \ beta = -b / a [/ math] y [math] \ alpha \ beta = c / a [/ math]. Entonces,

[matemáticas] \ displaystyle \ alpha- \ beta = \ sqrt {\ frac {b ^ 2} {a ^ 2} – \ frac {4c} a} = \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} a \ etiqueta * {} [/ math]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} & \ alpha = – \ frac b {2a} + \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} \\ & \ beta = – \ frac b { 2a} – \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Cada una de las soluciones dadas por la fórmula cuadrática se llama raíz de la ecuación cuadrática. Geométricamente, estas raíces representan los valores de x en los cuales cualquier parábola , dada explícitamente como y = ax2 + bx + c, cruza el eje x. Además de ser una fórmula que producirá los ceros de cualquier parábola, la ecuación cuadrática dará el eje de simetría de la parábola, y se puede usar para determinar de inmediato cuántos ceros tiene.

El discriminante (da información sobre la naturaleza de sus raíces )

D = b ^ 2 -4 * a * c

si D> 0; entonces dos raíces reales distintas

si D = 0; entonces las raíces son iguales, lo que significa dos raíces reales coincidentes x1 = x2 = -b / 2a

si D <0; dos raíces complejas distintas

Fórmula cuadrática – Wikipedia