Deje [math] \ displaystyle I = \ int \ sqrt {\ tan (x)} \, dx [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {\ sqrt {\ sin (x)}} {\ sqrt {\ cos (x)}} \, dx [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica I = \ int \ dfrac {\ sqrt {2} \ sin (x)} {\ sqrt {2 \ sin (x) \ cos (x)}} \, dx [/ math]
Deje que [math] \ displaystyle J = \ int \ dfrac {\ sqrt {2} \ cos (x)} {\ sqrt {2 \ sin (x) \ cos (x)}} \, dx [/ math]
- ¿Cómo puedo probar que para 0 <a <b, si h está definido por 1 / h = 1/2 (1 / a + 1 / b), entonces a <h <b?
- ¿Cómo encontramos el último dígito de [matemáticas] 11 ^ {11 ^ {11}} [/ matemáticas]?
- ¿Cómo evalúo [math] \ displaystyle \ int \ frac {dx} {(x ^ 2-a ^ 2) ^ 3} [/ math]?
- ¿Cuál es la derivada de [matemáticas] y = \ dfrac {2 \ sin x} {\ sin x – \ cos x} [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es el dominio de y = 14-x / ln (x ^ 2-4)?
Entonces, [matemáticas] \ displaystyle I + J = \ int \ dfrac {\ sqrt {2} (\ sin (x) + \ cos (x))} {\ sqrt {2 \ sin (x) \ cos (x) }} \, dx [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {\ sqrt {2} (\ sin (x) + \ cos (x))} {\ sqrt {2 \ sin (x) \ cos (x) – 1 + 1} } \, dx [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {\ sqrt {2} (\ sin (x) + \ cos (x))} {\ sqrt {- (- 2 \ sin (x) \ cos (x) + 1 ) + 1}} \, dx [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {\ sqrt {2} (\ sin (x) + \ cos (x))} {\ sqrt {1 – (\ sin ^ 2 (x) + \ cos ^ 2 ( x) – 2 \ sin (x) \ cos (x))}} \, dx [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {\ sqrt {2} (\ sin (x) + \ cos (x))} {\ sqrt {1 – (\ sin (x) – \ cos (x)) ^ 2}} \, dx [/ matemáticas]
Suponga [matemáticas] y = \ sin (x) – \ cos (x) [/ matemáticas]
Entonces, [math] dy = (\ sin (x) + \ cos (x)) \, dx [/ math]
Sustituyendo [matemáticas] x [/ matemáticas] con los valores anteriores en [matemáticas] I + J [/ matemáticas], obtenemos,
[matemáticas] \ displaystyle I + J = \ int \ dfrac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {1 – y ^ 2}} \, dy [/ math]
Supongamos que [matemáticas] y = \ sin (z) [/ matemáticas]
entonces [math] dy = \ cos (z) \, dz [/ math]
Sustituyendo [math] y [/ math] con los valores anteriores en [math] I + J [/ math], obtenemos,
[matemáticas] \ displaystyle I + J = \ int \ dfrac {\ sqrt {2} \ cos (z)} {\ sqrt {1 – \ sin ^ 2 (z)}} \, dz [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {\ sqrt {2} \ cos (z)} {\ cos (z)} \, dz [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ sqrt {2} \, dz [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = \ sqrt {2} z [/ matemáticas]
Ahora la sustitución inversa de [math] z [/ math] nos da,
[matemáticas] \ displaystyle I + J = \ sqrt {2} \ arcsin (y) [/ math]
Ahora la sustitución inversa de [math] y [/ math] nos da,
[matemáticas] \ displaystyle I + J = \ sqrt {2} \ arcsin (\ sin (x) – \ cos (x)) [/ math]
Ahora resolvamos [matemáticas] I – J [/ matemáticas],
[matemáticas] \ displaystyle I – J = \ int \ dfrac {\ sqrt {2} (\ sin (x) – \ cos (x))} {\ sqrt {2 \ sin (x) \ cos (x) + 1 – 1}} \, dx [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {\ sqrt {2} (\ sin (x) – \ cos (x))} {\ sqrt {(\ sin (x) + \ cos (x)) ^ 2 – 1}} \, dx [/ math]
Suponga que [math] u = \ sin (x) + \ cos (x) [/ math]
[matemáticas] \ implica du = (\ cos (x) – \ sin (x)) \, dx [/ matemáticas]
La sustitución de [math] x [/ math] en términos de los valores anteriores nos da,
[matemáticas] \ displaystyle I – J = \ int \ dfrac {- \ sqrt {2}} {\ sqrt {u ^ 2 – 1}} \, du [/ math]
Suponga que [matemática] u = \ seg (v) [/ matemática]
[matemáticas] \ implica du = \ seg (v) \ tan (v) \, dv [/ matemáticas]
Entonces, la sustitución nos da,
[matemáticas] \ displaystyle I – J = \ int \ dfrac {- \ sqrt {2} \ sec (v) \ tan (v)} {\ sqrt {\ sec ^ 2 (v) – 1}} \, dv [ /matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {- \ sqrt {2} \ sec (v) \ tan (v)} {\ tan (v)} \, dv [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int – \ sqrt {2} \ sec (v) \, dv [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = – \ sqrt {2} \ ln (| \ sec (v) + \ tan (v) |) [/ math]
Como, [matemáticas] u = \ seg (v) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica u ^ 2 – 1 = \ seg ^ 2 (v) – 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica \ sqrt {u ^ 2 – 1} = \ tan (v) [/ matemáticas]
La sustitución inversa de [matemáticas] v [/ matemáticas] nos da
[matemáticas] \ displaystyle I – J = – \ sqrt {2} \ ln (| u + \ sqrt {u ^ 2 – 1} |) [/ matemáticas]
De nuevo la sustitución inversa nos da
[matemáticas] \ displaystyle I – J = – \ sqrt {2} \ ln (| \ sin (x) + \ cos (x) + \ sqrt {(\ sin (x) + \ cos (x)) ^ 2 – 1} |) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica I – J = – \ sqrt {2} \ ln (| \ sin (x) + \ cos (x) + \ sqrt {2 \ sin (x) \ cos (x)} |) [/matemáticas]
Ahora [matemáticas] \ displaystyle I + J + I – J = 2I = \ sqrt {2} \ arcsin (\ sin (x) – \ cos (x)) – \ sqrt {2} \ ln \ left (\ big | \ sin (x) + \ cos (x) + \ sqrt {2 \ sin (x) \ cos (x)} \ Big | \ right) [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ bbox [#AFA] {I = \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \ arcsin (\ sin (x) – \ cos (x)) – \ dfrac {1} { \ sqrt {2}} \ ln \ left (\ big | \ sin (x) + \ cos (x) + \ sqrt {2 \ sin (x) \ cos (x)} \ Big | \ right) + C} [/matemáticas]
Donde [math] C [/ math] es una constante de integración indefinida