Ramanujan demostró que una suma de todos los enteros positivos es -1/12. ¿Como es posible?

Answer 1

Edité la pregunta para reemplazar ” la suma” con ” una suma”. La diferencia es crucial.

La suma de Ramanujan es una forma de definir una suma de una serie infinita que corresponde a la suma regular cuando la serie converge, pero también proporciona valores finitos para algunas series divergentes. Hay varios otros [1].

Es posible porque las matemáticas te permiten definir las cosas como quieras. Podría definir una Suma de Bustany de cualquier serie no convergente como [math] \ frac {-1} {12} [/ math]. Puede que no sea tan útil como otras sumas, pero es perfectamente posible …

Una suma finita se define automáticamente por la operación subyacente de la suma binaria. El punto importante es que una suma infinita no se define automáticamente de manera similar. Incluso la suma infinita regular de series convergentes es una nueva definición. Es una definición conservadora en el sentido de que mantiene muchas propiedades de adición y no causará demasiada confusión, aunque incluso la definición regular adolece de una dependencia en el orden de los términos para series que solo son condicionalmente convergentes. Bernhard Riemann demostró [2] que una serie condicionalmente convergente se puede reordenar para que la nueva serie converja a cualquier número real que desee.

Como mínimo, debe comprender la convergencia condicional antes de aventurarse en la suma no convergente de enteros positivos y las formas de definir una suma de series divergentes que sea útil en algunas circunstancias.

Notas al pie

[1] La respuesta de Alon Amit a ¿Amit Alon cree que 1 + 2 + 3 +… = -1 / 12?

[2] Teorema de la serie de Riemann – Wikipedia

Answer 2

Ramanujan dio una prueba que era menos rigurosa y desconcertante y la constante [math] \ frac {-1} {12} [/ math] se convirtió en la suma de Ramanujan. Ramanujan dio [matemáticas] 2 [/ matemáticas] pruebas. Uno riguroso y uno no riguroso. [1]

La prueba no rigurosa es algo que generalmente no se considera muy correcto porque hay algunas manipulaciones de suma infinita al igual que sumas finitas que no son correctas. La prueba es así:

Consideremos la suma de todos los números naturales como [matemáticas] S [/ matemáticas]

[matemáticas] {\ displaystyle {\ begin {alignedat} {7} S & {} = {} & 1 + 2 && {} + 3 + 4 && {} + 5 + 6 + \ cdots \\ 4S & {} = {} & 4 && {} +8 && {} + 12+ \ cdots \\ S-4S & {} = {} & 1-2 && {} + 3-4 && {} + 5-6 + \ cdots \\\ end {alignedat}}} [/ math]

La idea clave es que la serie alterna [matemática] 1 – 2 + 3 – 4 + ⋯ [/ matemática] es la expansión de la serie de potencia formal de la función [matemática] \ frac {1} {(1 + x) ^ 2} [/ math] pero con [math] x [/ math] definido como [math] 1 [/ math]. En consecuencia, Ramanujan escribe:

[matemáticas] {\ displaystyle -3S = 1-2 + 3-4 + \ cdots = {\ frac {1} {(1 + 1) ^ {2}}} = {\ frac {1} {4}}} [/matemáticas]

Dividiendo ambos lados por [math] −3 [/ math], uno obtiene [math] \ boxed {S ​​= \ frac {-1} {12}} [/ math].

Sin embargo, esto no es muy correcto debido a la razón dada anteriormente, pero puede corregirse usando la regularización de la función Zeta. [2] donde la serie [math] {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n} [/ math] se reemplaza por la serie [math] {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n ^ {- s}} [/ math] si ponemos [math] s = -1 [/ math].

La otra prueba que dio Ramanujan fue la suma de Ramanujan, que es un método para aislar el término constante en la fórmula de Euler-Maclaurin para las sumas parciales de una serie. Para una función f , la suma clásica Ramanujan de la serie [math] {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} f (k)} [/ math] se define como

[matemáticas] {\ displaystyle c = – {\ frac {1} {2}} f (0) – \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2k}} {(2k) !}} f ^ {(2k-1)} (0),} [/ math]

donde [math] f ^ {2k − 1} [/ math] es la [math] (2k – 1) _ {th} [/ math] derivada de [math] f [/ math] y [math] B ^ { 2k} [/ math] es el [math] 2k_ {th} [/ math] número de Bernoulli: [math] B_2 = \ frac {1} {6}, [/ math] [math] B_4 = \ frac {- 1 } {30} [/ math], y así sucesivamente. Al establecer [math] f (x) = x [/ math], la primera derivada de [math] f [/ math] es [math] 1 [/ math], y todos los demás términos desaparecen, entonces:

[matemáticas] \ boxed {{\ displaystyle c = – {\ frac {1} {6}} \ times {\ frac {1} {2!}} = – {\ frac {1} {12}}.}} [/matemáticas]

Por desconcertante que sea este resultado [3], se puede probar y se usa muy activamente en la teoría de cuerdas como la siguiente ecuación:

[matemática] \ en caja {{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n} \ longrightarrow \ frac {-1} {12}} [/ math]

Las matemáticas siempre parecen sorprendernos. 🙂

Sin embargo, la serie es divergente y no tiene una suma. El resultado es manipulador y se utiliza en la teoría de cuerdas, la teoría compleja y la teoría cuántica.

Saludos 🙂

Notas al pie

[1] Documento sin título

[2] 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ – Wikipedia

[3] Seguimiento: la serie Infinite y el resultado alucinante

Answer 3

Sin embargo, preguntas como esta parecen “contra intuitivas” son realmente más obvias para aquellos que aprenden Física (también puede plantear, 1 + 1 + 1 +…. = – 1/2?). Son las percepciones las que realmente importan. Siempre percibo la física de la naturaleza.

La suma de los números naturales es claramente divergente. Hay pruebas para verificar la divergencia de series, que por otro lado están restringidas. Las manipulaciones realizadas en las sumas (con propiedades adicionales como linealidad, etc. para series divergentes) y las respuestas que utilizan las funciones de Riemann Zeta a menudo se dan como respuestas que son herramientas matemáticas muy apropiadas para eliminar los infinitos.

[Si consideramos suma- 1-1 + 1–1 +… .. La serie es oscilatoria a diferencia de 1 + 2 + 3 +…. que es monotónico aumentando con límite inferior (como no hay límite superior es divergente)]

Déjame explicarte en términos de olas en un estanque. Consideremos un estanque circular con radio finito. Si creamos olas justo en el medio del estanque, se propagan uniformemente hasta los extremos y luego desaparecen (colisión inelástica). Esto es análogo a la serie en consideración. Wave 1, Wave 2, Wave 3 … etc. se asemeja a 1, 2, 3 números en la serie. El uso del tratamiento de las funciones analíticas es como si las olas se movieran hacia el borde del estanque, pero nunca lo alcanzan (naturaleza asintótica). El método de suma es simplemente manipular Wave!, 2,3 … con otras ondas (sumas parciales).

Utilizamos los mismos métodos en física nuclear, teoría de cuerdas, etc.

Answer 4

No lo es La “suma de todos los enteros positivos” no tiene sentido. Si lo considera una serie infinita y aprende acerca de la convergencia, entonces esta serie obviamente no converge, sino que diverge. Entonces la “suma” de esto no tiene sentido. Contraste eso con la suma de la serie de poderes negativos de 2: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +…. Esa serie converge a 1, por lo que podemos decir razonablemente que su suma es 1.

Entonces, ¿qué es esto -1/12 cosas que has leído? La matemática es un tema muy profundo. Hay formas de ampliar los conceptos cada vez más. Hay un tema avanzado llamado “análisis complejo” que es básicamente el cálculo de funciones definidas en el campo de los números complejos. Si tales funciones se comportan bien, a menudo pueden extenderse más allá de su dominio inicial de definición mediante lo que se denomina continuación analítica. Sin entrar en detalles, si este proceso se realiza de cierta manera, se puede decir, en cierto sentido avanzado, que la suma en su publicación “es igual a” -1/12. Pero eso es engañoso en el mejor de los casos si no ha tomado varios cursos de posgrado en análisis.

Answer 5

No lo hizo, en realidad no. Hay muchas formas de extender la noción del límite de una serie, y estas se pueden usar de varias maneras, útiles o no. Ramanujan hizo un uso creativo de las integrales de línea de la función [math] \ zeta [/ math] de Riemann para producir lo que a veces se llama una “suma de Ramanujan” de una serie. Esto es un poco más como la suma de una serie que un pato Bombay es como un pato, porque a veces es lo mismo. Si la serie original converge, la suma de Ramanujan no produce un límite diferente. Sin embargo, la suma de Ramanujan no es lo mismo que la suma en general, se puede definir cuando la suma no lo es, y este es un caso puntual.

Answer 6

La suma de todos los enteros positivos.

[math] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ \ infty n = 1 + 2 + 3 + 4 + \ dots = \ dfrac {-1} {12} [/ math] se basa en la función Riemann Zeta. Profundizo más en esta idea en otra de mis respuestas.

Answer 7

¡Quiero ver esto!

El problema inherente a las pruebas es que pueden ser válidas internamente dentro de su propio conjunto de parámetros, sin ser realmente verdaderas.

Dicho esto, no sé los parámetros a partir de los cuales esto se deriva, por lo que es difícil comentar.

Busque la ‘teoría de la incompletitud’ para que su mente se agite en esto.

Answer 8

Mostró que -1/12 es una posible respuesta a la pregunta. La mejor descripción que he visto es que -1/12 es una “pepita de oro” escondida dentro de un gran bulto de infinito. Tienes que ver más allá del infinito para ver que -1/12 es un componente interesante y útil de la respuesta.

Answer 9

Answer 10

Su “prueba” implica manipular sumas o diferencias de cantidades infinitas. Ese “juego” puede conducir a todo tipo de resultados paradójicos.

Answer 11

Eso es muy fácil: quien te dijo que estaba mal, nadie demostró que la suma de todos los enteros positivos es -1/12, porque simplemente está mal.

Answer 12

Se utilizó una escapatoria matemática. La respuesta a la suma de todos los enteros positivos es obviamente infinito.

Answer 13

Esta pregunta me ha estado retocando durante bastante tiempo, puedes ver el siguiente video, es realmente útil

Answer 14

No lo probó. No puedes trabajar con infinitos sin cuidarte. No es una prueba, es un truco.