La tangente a la cúbica [matemática] f (x) [/ matemática] en el promedio de dos raíces se cruza [matemática] f (x) [/ matemática] en la tercera raíz.
Prueba:
Deje que las tres raíces de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] sean [matemáticas] m [/ matemáticas], [matemáticas] n [/ matemáticas] y [matemáticas] p [/ matemáticas]. Entonces, para algunos no [cero] a [/ matemáticas],
[matemáticas] \ quad f (x) = a (xm) (xn) (xp) [/ matemáticas]
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Sin pérdida de generalidad, elegiré [matemática] m [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] como las raíces para promediar, y encontraré la línea tangente a [matemática] f [/ matemática] en punto [matemática] \ rm P [/ matemática], donde [matemática] x = \ frac {m + n} {2} [/ matemática]. El punto [matemáticas] \ rm P [/ matemáticas] tiene coordenadas [matemáticas] \ izquierda (\ frac {m + n} {2}, f (\ frac {m + n} {2}) \ derecha) [/ matemáticas] , pero necesito expresar estas coordenadas en términos de [matemáticas] m [/ matemáticas], [matemáticas] n [/ matemáticas] y [matemáticas] p [/ matemáticas] para poder encontrar la derivada en ese punto, de ahí el ecuación de la línea tangente a [matemática] f (x) [/ matemática] en el punto [matemática] \ rm P [/ matemática].
De la definición de [math] f (x) [/ math], arriba, puedo escribir:
[matemáticas] \ quad \ frac {8} {a} f (x) = 8 (xm) (xn) (xp) [/ matemáticas]
Luego, sustituyendo [math] \ frac {m + n} {2} [/ math] en lugar de [math] x [/ math],
[matemáticas] \ begin {align} \ quad \ frac {8} {a} f (\ frac {m + n} {2}) & = 8 (\ frac {m + n} {2} -m) (\ frac {m + n} {2} -n) (\ frac {m + n} {2} -p) \\ & = (-m + n) (mn) (m + n-2p) \\ & = (2p-mn) (mn) ^ 2 \ end {align} [/ math]
Entonces, las coordenadas del punto [matemáticas] \ rm P [/ matemáticas] son [matemáticas] \ izquierda (\ frac {m + n} {2}, \ frac {a} {8} (2p-mn) (mn) ^ 2 \ derecha) [/ matemáticas]. Ahora, para encontrar la pendiente de la línea tangente en el punto [math] \ rm P [/ math], empiezo diferenciando [math] f [/ math],
[matemáticas] \ begin {align} \ quad \ frac {8} {a} f ‘(x) & = 8 ((xm) (xn) + (xm) (xp) + (xn) (xp)) \\ & = 2 ((2x-2m) (2x-2n) \\ & \ qquad + (2x-2m) (2x-2p) \\ & \ qquad + (2x-2n) (2x-2p)) \ end { alinear} [/ math]
El valor de [math] f ‘(x) [/ math] cuando [math] x = \ frac {m + n} {2} [/ math] es la pendiente de la línea tangente en el punto [math] \ rm P [/ math], así que sustituiré [math] m + n [/ math] en lugar de [math] 2x [/ math]:
[matemáticas] \ begin {align} \ quad \ frac {8} {a} f ‘(\ frac {m + n} {2}) & = 2 ((m + n-2m) (m + n-2n) \\ & \ qquad + (m + n-2m) (m + n-2p) \\ & \ qquad + (m + n-2n) (m + n-2p)) \\ & = 2 ((- m + n) (mn) \\ & \ qquad + (- m + n) (m + n-2p) \\ & \ qquad + (mn) (m + n-2p)) \\ & = 2 ((- m + n) (mn) \\ & = (-2) (mn) ^ 2 \ end {align} [/ math]
Entonces, la pendiente de la línea tangente en el punto [math] \ rm P [/ math] viene dada por
[matemáticas] \ quad f ‘(\ frac {m + n} {2}) = \ frac {a} {8} (- 2) (mn) ^ 2 [/ matemáticas]
La ecuación de una línea con pendiente [matemática] m [/ matemática] que pasa por el punto [matemática] (x_0, y_0) [/ matemática] es
[matemática] \ quad y-y_0 = m (x-x_0) [/ matemática]
Entonces, la línea tangente en el punto [matemáticas] \ rm P [/ matemáticas], que, como recordarán, tiene coordenadas [matemáticas] \ izquierda (\ frac {m + n} {2}, \ frac {a} {8 } (2p-mn) (mn) ^ 2 \ right) [/ math], viene dado por
[matemáticas] \ begin {align} \ quad y & – \ frac {a} {8} (2p-mn) (mn) ^ 2 = \ frac {a} {8} (- 2) (mn) ^ 2 ( x- \ frac {m + n} {2}) \\ y & = \ frac {a} {8} (- 2) (mn) ^ 2 (x- \ frac {m + n} {2}) + \ frac {a} {8} (2p-mn) (mn) ^ 2 \\ & = \ frac {a} {8} (- 2) (mn) ^ 2 (x- \ frac {m + n} { 2} -p + \ frac {m} {2} + \ frac {n} {2}) \\ & = – \ frac {a} {4} (mn) ^ 2 (xp), \ end {align} [ /matemáticas]
que es la ecuación de una línea que pasa por el punto [matemáticas] (p, 0) [/ matemáticas], que es la tercera raíz de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas], completando la prueba.
[math] ~ \\\ large {\ bf {\ text {Ejemplo:} f (x) = 2x ^ 3 + 6x ^ 2-4.5x -13.5}} [/ math]
Las tres raíces de este cúbico son -3, -1.5 y 1.5. La tangente en el promedio de cualquiera de estas dos raíces pasa a través de la función en su tercera raíz. En color rosa, se muestran dos de estas tres tangentes. La tangente en 0 pasa a través de (-3,0), y la tangente en -2.25 pasa a través de (1.5,0). No se muestra la tangente en -0.75, que pasa por (-1.5,0).
Droodle
Hice un droodle en GeoGebra que te ayudará a visualizar este fenómeno. Aquí hay un enlace: Las tangentes cúbicas pasan a través de las raíces. En este droodle, puede mover las tres raíces alrededor del eje xy observar las tres líneas tangentes a medida que se mueven, siempre “pegadas” al polinomio cúbico.
Lea más sobre este droodle, incluyendo detalles completos sobre su construcción en mi respuesta a ¿Qué es una conjetura sobre las tangentes a un polinomio cúbico con tres ceros reales?