Nota: Esta prueba se divide en diferentes partes dependiendo de qué tan profunda sea la declaración que está tratando de probar. Si solo lo desea para [math] n \ in \ mathbb {Z} [/ math], mire el primero. Si desea [math] n = a + bi \ in \ mathbb {C} [/ math] y [math] a, b \ in \ mathbb {Z} [/ math], mire el segundo. Si desea [math] n = a + bi \ in \ mathbb {C} [/ math] con [math] a, b \ in \ mathbb {QZ} [/ math], mire el tercero. Si desea [math] n = a + bi \ in \ mathbb {C} [/ math] con [math] a, b \ in \ mathbb {RQ} [/ math], mire el cuarto.
Además, solo las primeras pruebas [matemáticas] 2 [/ matemáticas] se han completado hasta ahora.
Agregue un voto a favor por las [matemáticas] 3 [/ matemáticas] horas que pasé escribiendo todo esto en látex, etc. 🙂
Introducción general
Definir [matemáticas] f (n) = n ^ 3 + 3n ^ 2 + 2n = n (n ^ 2 + 3n + 2) = n (n + 1) (n + 2) [/ matemáticas]
Prueba 1
Primero hagamos [math] f (n) [/ math] para [math] n \ in \ mathbb {Z} [/ math].
Usando inducción:
[matemáticas] f (1) = 1 + 3 + 2 = 6 [/ matemáticas], que es divisible por [matemáticas] 3 [/ matemáticas].
Suponiendo que [math] f (n) [/ math] funciona para todos los enteros menores que [math] k [/ math]:
[matemáticas] f (k + 1) = (k + 1) \ left ((k + 1) +1 \ right) \ left ((k + 1) +2 \ right) = (k + 1) (k + 2) (k + 3) = k (k + 1) (k + 2) + 3 (k + 1) (k + 2) [/ matemáticas].
Como [matemática] k (k + 1) (k + 2) = f (k) [/ matemática] es divisible por [matemática] 3 [/ matemática] por la hipótesis de inducción, [matemática] f (k + 1) [ / math] es divisible por [math] 3 [/ math].
Por lo tanto, por inducción, [matemática] f (n) [/ matemática] es divisible por [matemática] 3 [/ matemática] para todos los enteros positivos [matemática] n [/ matemática].
Ahora suponga que [math] f (n) [/ math] funciona para todos los enteros mayores que [math] k [/ math]:
[matemáticas] f (k-1) = (k-1) \ left ((k-1) +1 \ right) \ left ((k-1) +2 \ right) = (k + 2-3) ( k) (k + 1) = k (k + 1) (k + 2) – 3k (k + 1) [/ matemáticas].
Como [matemática] k (k + 1) (k + 2) = f (k) [/ matemática] es divisible por [matemática] 3 [/ matemática] por la hipótesis de inducción, [matemática] f (k-1) [ / math] es divisible por [math] 3 [/ math].
Por lo tanto, por inducción, [matemática] f (n) [/ matemática] es divisible por [matemática] 3 [/ matemática] para todos los enteros negativos [matemática] n [/ matemática].
Por lo tanto, combinando ambas inducciones, [math] f (n) [/ math] es verdadero para [math] n \ in \ mathbb {Z} [/ math].
Introducción para la Prueba 2 + 3 + 4
Ahora para demostrar que es o no integral para no integrales [math] n [/ math]:
Tome [math] real (x) [/ math] como la parte real de [math] x [/ math] y [math] imag (x) [/ math] la parte imaginaria de [math] x [/ math] .
Tome [math] real (x) = a [/ math] y [math] imag (x) = b [/ math] para [math] a, b \ in \ mathbb {R} [/ math].
Entonces, [matemáticas] n = a + bi [/ matemáticas].
Prueba 2
Primero hagamos esto para [math] a, b \ in \ mathbb {Z} \ space ([/ math] Podemos porque [math] \ mathbb {Z} \ subset \ mathbb {R} [/ math] y lo haremos porque entonces esta parte de la prueba es más fácil [matemáticas]) [/ matemáticas].
[matemáticas] f (n) = \ left (a + bi \ right) \ left ((a + 1) + bi \ right) \ left ((a + 2) + bi \ right) [/ math].
Por lo tanto, [matemáticas] f (n) = \ left (a + bi \ right) \ left (a + 1 + bi \ right) \ left (a + 2 + bi \ right) = a ^ 3 + 3a ^ 2bi + 3a ^ 2 + 3ab ^ 2i ^ 2 + 6abi + 2a + b ^ 3i ^ 3 + 3b ^ 2i ^ 2 + 2bi = a ^ 3 + 3a ^ 2-3ab ^ 2 + 2a-3b ^ 2 + 3a ^ 2bi + 6abi-b ^ 3i + 2bi = \ left (a ^ 3 + 3a ^ 2-3ab ^ 2 + 2a-3b ^ 2 \ right) + b \ left (3a ^ 2 + 6a-b ^ 2 + 2 \ right) i \ space [/ math]. [math] * [/ math]
Al observar la parte imaginaria de [matemáticas] f (n) [/ matemáticas] primero, vemos que es [matemáticas] b \ izquierda (3 (a ^ 2 + 2a) -b ^ 2 + 2 \ derecha) [/ matemáticas].
Tiempo para el trabajo de casos en [matemáticas] b [/ matemáticas] porque [matemáticas] b [/ matemáticas] es la única variable que afecta la parte imaginaria:
- [matemáticas] b \ equiv 0 \ espacio (mod \ espacio 3) [/ matemáticas]:
- Como toda la parte imaginaria tiene un factor de [matemática] b [/ matemática], [matemática] imag \ left (f (n) \ right) \ equiv 0 \ space (mod \ space 3) [/ math].
- Es divisible por [matemáticas] 3 [/ matemáticas].
[matemáticas] b \ equiv 1 \ espacio (mod \ espacio 3) [/ matemáticas]:
- [matemáticas] imag \ left (f (n) \ right) = 3 (a ^ 2b + 2ab) -b ^ 3 + 2b \ equiv 2b-b ^ 3 \ equiv 2 \ times 1-1 ^ 3 \ space \ space \ space \ space \ equiv 2-1 \ equiv 1 \ space (mod \ space 3) [/ math].
- No es divisible por [matemáticas] 3 [/ matemáticas].
[matemáticas] b \ equiv 2 \ espacio (mod \ espacio 3) [/ matemáticas]:
- [matemáticas] imag \ left (f (n) \ right) = 3 (a ^ 2b + 2ab) -b ^ 3 + 2b \ equiv 2b-b ^ 3 \ equiv 2 \ times 2-2 ^ 3 \ space \ space \ space \ space \ equiv 4-8 \ equiv 2 \ space (mod \ space 3) [/ math].
- No es divisible por [matemáticas] 3 [/ matemáticas].
Ahora en la parte real de [matemáticas] f (n) [/ matemáticas]:
[matemática] real \ izquierda (f (n) \ derecha) = a ^ 3 + 3a ^ 2-3ab ^ 2 + 2a-3b ^ 2 = a ^ 3 + 2a + 3 (a ^ 2-ab ^ 2-b ^ 2) = a \ left (a ^ 2 + 2 \ right) +3 \ left (a ^ 2-ab ^ 2-b ^ 2 \ right) [/ math].
[matemática] real \ left (f (n) \ right) = a \ left (a ^ 2 + 2 \ right) +3 \ left (a ^ 2-ab ^ 2-b ^ 2 \ right) \ equiv a \ left (a ^ 2 + 2 \ right) \ space (mod \ space 3) [/ math].
Tiempo para el trabajo de casos en [matemáticas] a [/ matemáticas] porque [matemáticas] a [/ matemáticas] es la única variable que afecta la parte real:
- [matemáticas] a \ equiv 0 \ espacio (mod \ espacio 3) [/ matemáticas]:
- Como toda la parte real módulo [matemáticas] 3 [/ matemáticas] tiene un factor de [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] real \ izquierda (f (n) \ derecha) \ equiv 0 \ espacio (mod \ espacio 3) [/ matemáticas].
- Es divisible por [matemáticas] 3 [/ matemáticas].
[matemáticas] a \ equiv 1 \ espacio (mod \ espacio 3) [/ matemáticas]:
- [matemáticas] real \ izquierda (f (n) \ derecha) \ equiv a ^ 3 + 2a \ equiv 1 ^ 3 + 2 \ veces 1 \ equiv 1 + 2 \ equiv 0 \ space (mod \ space 3) [/ math ]
- Es divisible por [matemáticas] 3. [/ Matemáticas]
[matemáticas] a \ equiv 2 \ espacio (mod \ espacio 3) [/ matemáticas]:
- [matemáticas] real \ izquierda (f (n) \ derecha) \ equiv a ^ 3 + 2a \ equiv 2 ^ 3 + 2 \ veces 2 \ equiv 8 + 4 \ equiv 0 \ space (mod \ space 3) [/ math ]
- Es divisible por [matemáticas] 3 [/ matemáticas].
Por lo tanto, para [math] a, b \ in \ mathbb {Z} [/ math], [math] f (n) = f \ left (a + bi \ right) \ equiv 0 \ space (mod \ space 3) [/ math] solo si [math] b \ equiv 0 \ space (mod \ space 3) [/ math].
Prueba 3 (continuará …)
Ahora para [math] n = a + bi [/ math] donde [math] a, b \ in \ mathbb {QZ} [/ math].
Prueba 4 (continuará …)
Ahora para [math] n = a + bi [/ math] donde [math] a, b \ in \ mathbb {RQ} [/ math] [math]. [/ Math]
[matemáticas] * [/ matemáticas] Por favor revise mis matemáticas aquí 🙂
…
