Si la razón de la suma de los primeros n términos de dos AP es (7n + 1) :( 4n + 27), entonces ¿cuál es la razón de sus noveno términos?

Answer 1

Denotemos las sumas de 2 AP como [math] S_1 y S_2, [/ math]

Dado eso, [math] \ dfrac {S_1} {S_2} = \ dfrac {7n + 1} {4n + 27}, [/ math]

La suma de los primeros ‘n’ términos de AP, cuyo primer término es ‘a’ y la diferencia común es ‘d’, viene dada por:

[matemáticas] S = \ dfrac {n} {2} [2a + (n-1) d] [/ matemáticas]

Dejar,

Primer término y diferencia común de dos AP que tienen una suma [matemática] S_1 [/ matemática] y [matemática] S_2 [/ matemática] sea ​​’a’, ‘d’ y ‘A’, ‘D’ respectivamente.

Entonces, [matemáticas] \ dfrac {S_1} {S_2} = \ dfrac {\ dfrac {n} {2} [2a + (n-1) d]} {\ dfrac {n} {2} [2A + (n-1 ) D]}, [/ matemáticas]

=> [matemáticas] \ dfrac {S_1} {S_2} = \ dfrac {2a + (n-1) d} {2A + (n-1) D} [/ matemáticas]

=> [matemáticas] \ dfrac {S_1} {S_2} = \ dfrac {a + \ dfrac {n-1} {2} d} {A + \ dfrac {n-1} {2} D} [/ matemáticas] —— ——- (1)

Ahora, el enésimo término de un AP que tiene el primer término ‘a’ y la diferencia común ‘d’ se da como,

[matemáticas] T_n = a + (n-1) d [/ matemáticas]

Por lo tanto, el noveno término de los dos AP que tienen una suma [matemática] S_1 [/ matemática] y [matemática] S_2 [/ matemática] será [matemática] a + 8d [/ matemática] ( Sea [matemáticas] A_1 [/ matemática ]) y [matemáticas] A + 8D [/ matemáticas] (Let it be [matemáticas] A_2 [/ matemáticas]) respectivamente,

[matemáticas] \ dfrac {A_1} {A_2} = \ dfrac {a + 8d} {A + 8D} [/ matemáticas] ————- (2)

Comparando las ecuaciones (1) y (2), obtenemos

[matemáticas] \ dfrac {n-1} {2} = 8 [/ matemáticas] o [matemáticas] n = 17 [/ matemáticas]

Dada la ecuación, [matemáticas] \ dfrac {a + \ dfrac {n-1} {2} d} {A + \ dfrac {n-1} {2} D} = \ dfrac {7n + 1} {4n + 27} [ /matemáticas]

Al poner [matemáticas] n = 17 [/ matemáticas] en la ecuación anterior, obtendremos:

[matemáticas] \ dfrac {a + \ dfrac {17-1} {2} d} {A + \ dfrac {17-1} {2} D} = \ dfrac {7 (17) +1} {4 (17) + 27} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {a + \ dfrac {16} {2} d} {A + \ dfrac {16} {2} D} = \ dfrac {7 (17) +1} {4 (17) +27} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {a + 8d} {A + 8D} = \ dfrac {A_1} {A_2} = \ dfrac {7 (17) +1} {4 (17) +27} [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] \ dfrac {A_1} {A_2} = \ dfrac {120} {95} = \ dfrac {24} {19}. [/ Math]

Answer 2

En primer lugar, escriba la suma de ambos AP.

7n + 1 = n / 2 (2a1 + (n-1) d1)

4n + 27 = n / 2 (2a2 + (n-1) d2)

Dado,

7n + 1: 4n + 27 = 2a1 + (n-1) d1: 2a2 + (n-1) d2

Al sustituir n como 17, obtendremos el noveno término de cada uno de los AP, es decir, a + 8d.

Por lo tanto, la proporción de sus novenos términos será 120: 95 o 24:19.

Answer 3

La suma de los primeros n términos viene dada por

S = n / 2 [2a + (n – 1) d]

Deje que las dos sumas se denoten por S & S *.

La relación de estas dos sumas se puede escribir como

S / S * = [n / 2 {2a + (n – 1) d}] / [n / 2 {2a * + (n – 1) d *}]

= [2a + (n – 1) d] / [2a * + (n – 1) d *]

Ahora comparándolo con los términos dados, es decir,

[2a + (n – 1) d] / [2a * + (n – 1) d *] = (7n + 1) / (4n + 27)

vemos que el coeficiente de n es 7 en el numerador y el del denominador es 4.

Entonces d = 7 & d * = 4.

Ahora tenemos dos ecuaciones.

2a + 7n – 7 = 7n + 1 y 2a * + 4n – 4 = 4n +27

O, 2a = 8 y 2a * = 31

O, a = 4 y a * = 31/2

Ahora la razón del enésimo término de ellos, obtenemos

T / T * = [a + (n – 1) d] / [a * + (n – 1) d *]

Al poner los valores de a, a *, d, d * & n = 9, obtenemos

T / T * = 24/19

Answer 4

La suma de los primeros términos [matemáticos] n [/ matemáticos] de un AP es [matemática] n / 2 × [2a + (n-1) d] [/ matemática] y el término [matemática] n [/ matemática] es [matemáticas] a + (n-1) d [/ matemáticas]

Deje que el término [matemático] n [/ matemático] de los dos AP sea [matemático] Am [/ matemático] y [matemático] Bm [/ matemático] y su diferencia común sea [matemático] d [/ matemático] y [matemático ] d ‘[/ math] respectivamente.

[matemáticas] Am = k × Bm [/ matemáticas]

[matemáticas] a + (m-1) d = k × [/ matemáticas] {[matemáticas] b + (m-1) d ‘[/ matemáticas]}

Multiplicando ambos lados por [matemáticas] 2 [/ matemáticas], obtenemos

[matemáticas] 2a + 2 (m-1) d = k × [/ matemáticas] {[matemáticas] 2b + 2 (m-1) d ‘[/ matemáticas]}

[matemáticas] 2a + [(2m-1) -1] d [/ matemáticas]

[matemáticas] = k × [/ matemáticas] {[matemáticas] 2b + [(2m-1) -1] d ‘[/ matemáticas]}

[matemática] 7 (2m-1) + 1 = k × [/ matemática] {[matemática] 4 (2m-1) +27 [/ matemática]}

Poniendo [matemáticas] n = 9 [/ matemáticas], obtenemos

[matemáticas] A9 / B9 = 120/95 = 24/19 [/ matemáticas]

Por lo tanto, la proporción del término [matemáticas] 9 [/ matemáticas] en los dos AP es [matemáticas] 24:19 [/ matemáticas]

Answer 5

Sn / sn = 7n + 1 / 4n + 27 (dado)

Donde Sn es la suma de n términos del primer AP y sn es la suma de n términos del segundo AP.

Sn = n / 2 (2A + (n-1) D) (A = primer término, D = diferencia común) (Suma de la fórmula AP)

sn = n / 2 (2a + (n-1) d) (a = primer término, d = diferencia común) (Suma de la fórmula AP)

Sn / sn = (2A + (n-1) D) / (2a + (n-1) d)

7n + 1 / 4n + 27 = (2A + (n-1) D) / (2a + (n-1) d)

Como, tenemos que encontrar la razón de su noveno término, sea n = 2 (9) -1 = 17

Entonces, la ecuación =>

7 (17) +1/4 (17) + 27 = 2A + (16D) / 2a + 16d

120/95 = A + 8D / a + 8d

Entonces, T9 / t9 = 120/95 = 24/19

Donde T9 es el noveno término del primer AP y t9 es el noveno término del segundo AP.

¡¡Espero eso ayude!!

Answer 6

Suma hasta n términos es n / 2 (2a + (n-1) d)

Sea 2 ap con diferencia D, d y primer término A, a ahora.

2A + (n-1) D / 2a + (n-1) d = 7n + 1 / 4n + 27

Si observa el noveno término es a + 8d. Tenemos 2a + (n-1) d. Escríbalo como 2 {a + (n-1) d / 2}. Ahora ponga n como 17. obtienes 2 (a + 8d). Entonces, en la ecuación anterior:

2A + (n-1) D / 2a + (n-1) d = 7n + 1 / 4n + 27

Ponga n = 17 después de dividir el numerador y el denominador entre 2. U obtenga a + 8d / A + 8D que es su requerimiento. Resp. En rh s al poner n = 17 obtienes 120/95 Ie 24/19

Espero que entiendas.

Answer 7

Todos sabemos que en una serie AP el término medio se convierte en media aritmética. Deje que haya n términos en una serie AP.

Si n está allí, entonces el término medio estaría entre (n / 2) y (n / 2) +1. Si n es un número impar aquí, entonces el término medio sería (n + 1/2).

Aquí necesitamos encontrar la proporción del noveno término de ambas series AP. Significa que necesitamos encontrar cuántos términos hay. 9 es un número impar aquí.

(n + 1) / 2 = 9.

n + 1 = 18

n = 17.

Significa que la razón de la suma de 17 términos de ambas series es igual a la razón del noveno término de ambas series AP.

pongamos n = 17.

relación = 7 x 17 + 1/4 x 17 + 27

= 120/95

= 24/19.

La relación entre el noveno término de ambas series sería 24:19.

Answer 8

La mejor manera de resolver este tipo de preguntas es encontrar la razón del término general ‘m’ y luego resolverlo. Después de obtener la razón para el término ‘m’, simplemente ponga cualquier valor que le dé en la pregunta (7 °, 8 ° o en este caso 9 °).

Arriba puede ver al final que hemos calculado la relación a la razón para el término general “m”. ¡Y para el noveno término, simplemente ponga 9 en lugar de my Dang!

Al poner 9 en lugar de m, obtendrá 120/95 y al simplificar, la respuesta final será 24/19 .

Sin embargo, esto solo se aplica al caso (7n + 1) / 4n + 27). Pero el enfoque es el mismo para cualquier otra pregunta de este tipo 😀

Answer 9

Proporción dada de la suma de n términos de dos AP = (7n + 1) 🙁 4n + 27)

Consideremos la relación de estos dos términos mth de AP como am: a’m → (2)
Recordemos el enésimo término de la fórmula AP, an = a + (n – 1) d
Por lo tanto, la ecuación (2) se convierte en,
am: a’m = a + (m – 1) d: a ‘+ (m – 1) d’
Al multiplicar por 2, obtenemos
am: a’m = [2a + 2 (m – 1) d]: [2a ‘+ 2 (m – 1) d’]
= [2a + {(2m – 1) – 1} d]: [2a ‘+ {(2m – 1) – 1} d’]
= S2m – 1: S’2m – 1
= [7 (2m – 1) + 1]: [4 (2m – 1) +27] [de (1)]
= [14m – 7 +1]: [8m – 4 + 27]
= [14m – 6]: [8m + 23]
Por lo tanto, la relación de términos enésima de dos AP es [14m – 6]: [8m + 23]. El mejor Coaching SSC en Chandigarh | Academia de mentores

Answer 10

Trataré de responder esta pregunta simplemente con la idea básica de progresión aritmética sin usar ninguna fórmula AP.

En primer lugar, esta pregunta puede interpretarse de dos maneras:

1. La razón de la suma de los primeros términos [matemáticos] n [/ matemáticos] de dos AP es [matemática] (7n + 1) 🙁 4n + 27) [/ matemática], para un valor particular de [matemática] n [ /matemáticas].
2. La razón de la suma de los primeros términos [matemáticos] n [/ matemáticos] de dos AP es [matemática] (7n + 1) 🙁 4n + 27) [/ matemática], independientemente del valor de [matemática] n [/matemáticas].

Asumiré la segunda interpretación, porque la primera interpretación no nos lleva a ninguna parte.

Primero construyamos algo de comprensión del problema. Primero podemos sustituir [matemática] n [/ matemática] por [matemática] 1 [/ matemática] y ver de inmediato que la razón de los primeros términos de las dos series es

[matemáticas] \ quad = \ dfrac {(7 \ veces 1 + 1)} {(4 \ veces 1 + 27)} = \ dfrac {8} {31} [/ matemáticas]

Así que ahora podemos escribir los primeros términos de las dos series como [matemáticas] 8k [/ matemáticas] y [matemáticas] 31k [/ matemáticas].

Ahora podemos sustituir [matemática] n [/ matemática] por [matemática] 2 [/ matemática] y ver que la razón de la suma de los dos primeros términos de las dos series es

[matemáticas] \ quad = \ dfrac {(7 \ veces 2 + 1)} {(4 \ veces 2 + 27)} = \ dfrac {15} {35} [/ matemáticas]

También podemos sustituir [matemática] n [/ matemática] por [matemática] 3 [/ matemática] y ver que la razón de la suma de los primeros tres términos de las dos series es

[matemáticas] \ quad = \ dfrac {(7 \ veces 3 + 1)} {(4 \ veces 3 + 27)} = \ dfrac {22} {39} [/ matemáticas]

Si escribimos las dos series aritméticas como

1. [matemáticas] 8k, 8k + a, 8k + 2a, 8k + 3a,… [/ matemáticas]
2. [matemáticas] 31k, 31k + b, 31k + 2b, 31k + 3b,… [/ matemáticas]

entonces significaría que si elegimos los dos primeros términos de la serie, los sumamos y tomamos su razón, entonces debería ser igual a [math] \ dfrac {15} {35} [/ math]

En otras palabras

[matemáticas] \ dfrac {(8k) + (8k + a)} {(31k) + (31k + b)} = \ dfrac {15} {35} \ tag {1} [/ matemáticas]

Del mismo modo, con los primeros tres términos de las dos series, obtenemos

[matemáticas] \ dfrac {(8k) + (8k + a) + (8k + 2a)} {(31k) + (31k + b) + (31k + 2b)} = \ dfrac {22} {39} \ tag {2} [/ matemáticas]

En aras de la brevedad, me estoy saltando algunos pasos sencillos, pero puede verificar que al resolver las dos ecuaciones [math] (1) [/ math] y [math] (2) [/ math] se obtiene

[matemáticas] \ quad a = 14k, b = 8k [/ matemáticas]

Esto significa que las dos series son de la forma

[matemáticas] \ quad 8k, [/ matemáticas]

[matemáticas] \ quad 8k + 14k, [/ matemáticas]

[matemáticas] \ quad 8k + 28k, [/ matemáticas]

[matemáticas] \ quad … [/ matemáticas]

[matemáticas] \ quad 8k + 14k (m-1), [/ matemáticas]

[matemáticas] \ quad … [/ matemáticas]

y

[matemáticas] \ quad 31k, [/ matemáticas]

[matemáticas] \ quad 31k + 8k, [/ matemáticas]

[matemáticas] \ quad 31k + 16k, [/ matemáticas]

[matemáticas] \ quad … [/ matemáticas]

[matemáticas] \ quad 31k + 8k (m-1), [/ matemáticas]

[matemáticas] \ quad … [/ matemáticas]

Entonces, la relación de los términos [math] m ^ {th} [/ math] será

[matemática] \ quad \ dfrac {8k + 14k (m-1)} {31k + 8k (m-1)} [/ matemática]

[matemáticas] \ quad = \ dfrac {14m-6} {8m + 23} [/ matemáticas]

La relación de los términos [matemática] 9 ^ {th} [/ matemática] será

[matemáticas] \ quad \ dfrac {14 \ veces 9-6} {8 \ veces 9 + 23} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ quad = \ dfrac {120} {95} = \ dfrac {24} {19} [/ matemáticas]

Answer 11

Suma de la primera serie = na + d * n * n-1/2

= n (ad / 2) + n ^ 2 * d // 2

donde a es el primer término yd es la diferencia entre dos números consecutivos

Segunda serie suma = n (bc / 2) + n ^ 2 * c / 2

Dada su relación de suma = 7n + 1: 4n + 27

Ratio = n ((ad / 2) + n * d // 2): n ((bc / 2) + n * c / 2)

= ad / 2 + n * d / 2: bc / 2 + n * c / 2

De las ecuaciones anteriores

Tenemos d \ 2 = 7, d = 14; a = 8

C = 8; b = 31

Relación de términos enésima = a + m-1 * d: b + m-1 * c

a-d + m * d: b-c + m * c

La razón de su enésimo término es

14m-6: 8m + 23

Answer 12

Como todos aquí han dicho el método convencional, le daré un pequeño truco en preguntas donde se le da la razón de la suma de términos y tiene que encontrar la razón de los términos, sustituya el valor de n por 2m-1, donde m es el término para el que necesitas encontrar la razón. Entonces, aquí m es igual a 17 y, por lo tanto, la relación es igual a 24:19.

Si hubiera sido al revés, donde se le da la razón de términos y se encuentra la razón de la suma de términos, sustituya n por (m + 1) / 2, donde m es el término para el que necesita encontrar la razón.

Nota: Este truco solo funciona cuando necesitas encontrar la razón del enésimo término de ambas series, es decir, no puedes encontrar la razón del 8º al 9º término con este método.

Answer 13

Deje que los valores cruciales de los dos AP sean a, d, A y D

[matemáticas] \ frac {{{t_9}}} {{{T_9}}} = \ frac {{a + 8d}} {{A + 8D}} = \ frac {{2a + 16d}} {{2A + 16D}} = \ frac {{2a + (17 – 1) d}} {{2A + (17 – 1) D}} = \ frac {{{s_ {17}}}} {{{S_ {17} }}} = \ frac {{120}} {{{\ rm {95}}}} = \ frac {{24}} {{19}} [/ math]

Answer 14

Nuestro objetivo debe ser encontrar el valor de n en la pregunta.

Tm1 y Tm2 serán el enésimo término de los dos AP s.

Tm1 / Tm2 = a + (m-1) d / (A + (m-1) D.

Sn1 y Sn2 serán la suma de n términos de las dos series.

Sn1 / Sn2 = 2a + (n-1) d / 2A + (n-1) D.

Tm1 / Tm2 será igual a Sn1 / Sn2, si (m-1) = (n-1) / 2.

En otras palabras, si n = 2m -1.

En el problema dado m = 9 y por lo tanto n = 17.

T9 1 / T9 2 = S 17 1 / S17 2 = (7n +1) / (4n + 27) = 24/19

Answer 15

[matemáticas] \ dfrac {[\ dfrac {n} {2} (2a_1 + (n-1) d_1)]} {[\ dfrac {n} {2} (2a_2 + (n-1) d_2)]} = \ dfrac {7n + 1} {4n + 27} [/ matemáticas]

Cancelando términos comunes en el lado izquierdo,

[matemáticas] \ dfrac {(2a_1 + (n-1) d_1)} {(2a_2 + (n-1) d_2)} = \ dfrac {7n + 1} {4n + 27} [/ matemáticas]

Tomando 2 comunes en ambos lados,

[matemáticas] \ por lo tanto \ dfrac {(a_1 + \ dfrac {(n-1)} {2} d_1)} {(a_2 + \ dfrac {(n-1)} {2} d_2)} = \ dfrac {\ dfrac {7n + 1} {2}} {\ dfrac {4n + 27} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto \ dfrac {(a_1 + \ dfrac {(n-1)} {2} d_1)} {(a_2 + \ dfrac {(n-1)} {2} d_2)} = \ dfrac {7n +1} {4n + 27}… (ecuación 1) [/ matemáticas]

Ahora tenemos que encontrar la razón del noveno término, en términos matemáticos tenemos que encontrar,

[matemáticas] \ dfrac {(a_1 + 8d_1)} {(a_2 + 8d_2)}… .. (ecuación 2) [/ matemáticas]

Mire detenidamente la ecuación 2 y la ecuación número 1. En la ecuación número 1, si

[matemáticas] \ dfrac {(n-1)} {2} = 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto n-1 = 16 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto n = 17 [/ matemáticas]

Poniendo n = 17 en la ecuación número 1 obtenemos,

[matemáticas] \ por lo tanto \ dfrac {(a_1 + 8d_1)} {(a_2 + 8d_2)} = \ dfrac {7 * 17 + 1} {4 * 17 + 27} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto \ dfrac {(a_1 + 8d_1)} {(a_2 + 8d_2)} = \ dfrac {120} {95} [/ matemáticas]

Simplificando aún más,

[matemáticas] \ por lo tanto \ dfrac {(a_1 + 8d_1)} {(a_2 + 8d_2)} = \ dfrac {24} {19} [/ matemáticas]

cuál es la proporción del noveno término de la serie.

PD: Esta es la primera vez que uso LaTex para escribir una respuesta. Los comentarios son apreciados.

Answer 16

Primero notamos que la razón de [math] r ^ {th} [/ math] términos de dos AP diferentes es la misma que la razón de sus sumas hasta el término [math] (2r-1) ^ {th} [/ math].

Por lo tanto, la razón de los términos [matemática] 9 ^ {th} [/ matemática] de los dos AP será la misma que la razón de sus sumas hasta el término [matemática] 17 ^ {th} [/ matemática].

La razón de sumas hasta [matemáticas] n ^ {th} [/ matemáticas] el término se da como [matemáticas] \ dfrac {7n + 1} {4n + 27}. [/ math] Poniendo [math] n = 17, [/ math] obtenemos la relación [math] 9 ^ {th} [/ math] términos de los dos AP, que es [math] \ frac {24} {19} .[/matemáticas]

Answer 17

Answer 18

Perdón por la mala escritura y el desorden. Espero que esto ayude.

Answer 19

Espero que te ayude.

Fuente: brainly.in

Answer 20

Espero que esto ayude.

Si aún tiene dudas, no dude en preguntar.